Soluzioni
  • Il nostro obiettivo consiste nel determinare le eventuali soluzioni della seguente equazione fratta di secondo grado

    \frac{\frac{1}{x+1}-\frac{2x+1}{(x-2)(2x-3)}}{1+\frac{x-1}{2-x}}=\frac{5}{3}

    Proprio perché l'incognita compare anche a denominatore, dobbiamo imporre delle opportune condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero.

    I vincoli da imporre sono:

    \\ x+1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -1 \\ \\ (x-2)(2x-3)\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 2 \ \ \ ; \ \ \ x\ne\frac{3}{2} \\ \\ 2-x\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 2 \\ \\ 1+\frac{x-1}{2-x}\ne 0

    Analizziamo più approfonditamente l'ultima disuguaglianza e risolviamola usando le medesime tecniche risolutive per le equazioni fratte di primo grado. In buona sostanza, eseguiremo le operazioni del primo membro così da ottenere un'unica frazione algebrica

    \frac{2-x+x-1}{2-x}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{1}{2-x}\ne 0

    Per x\ne 2 possiamo moltiplicare a destra e a sinistra dell'uguale per 2-x ottenendo la disuguaglianza

    1\ne 0

    che è vera a patto che venga soddisfatto il vincolo x\ne 2.

    Con le informazioni a disposizione, possiamo affermare che l'insieme di esistenza dell'equazione è dettato dalle condizioni

    C.E.: \ x\ne -1 \ \wedge \ x\ne 2 \ \wedge \ x\ne\frac{3}{2}

    dove \wedge individua il connettivo logico "e".

    Benissimo, ora possiamo concentrarci sui passaggi algebrici che ci permetteranno di esprimere l'equazione fratta in forma normale.

    Sommiamo le frazioni algebriche sia al numeratore sia al denominatore principali. Chiaramente abbiamo bisogno del minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore per eseguire le operazioni

    \frac{\frac{(x-2)(2x-3)-(2x+1)(x+1)}{(x+1)(x-2)(2x-3)}}{\frac{2-x+x-1}{2-x}}=\frac{5}{3}

    Eseguiamo le moltiplicazioni che si presentano al numeratore del numeratore principale e contemporaneamente sommiamo i termini simili al numeratore del denominatore principale

    \frac{\frac{2x^2-7x+6-(2x^2+3x+1)}{(x+1)(x-2)(2x-3)}}{\frac{1}{2-x}}=\frac{5}{3}

    da cui

    \frac{\frac{-10x+5}{(x+1)(x-2)(2x-3)}}{\frac{1}{2-x}}=\frac{5}{3}

    Esprimiamo in forma normale la frazione di frazioni al primo membro: è sufficiente moltiplicare il numeratore principale per il reciproco del denominatore principale

    \frac{-10x+5}{(x+1)(x-2)(2x-3)}\cdot (2-x)=\frac{5}{3}

    Osservando che 2-x\ \mbox{e} \ x-2 sono l'uno l'opposto dell'altro, possiamo semplificarli a croce

    \frac{-10x+5}{(x+1)(2x-3)}\cdot (-1)=\frac{5}{3}

    da cui

    \frac{10x-5}{(x+1)(2x-3)}=\frac{5}{3}

    Portiamo tutti i termini al membro di sinistra

    \frac{10x-5}{(x+1)(2x-3)}-\frac{5}{3}=0

    ed eseguiamo tutti i calcoli per ottenere un'unica frazione

    \frac{30x-15-5(x+1)(2x-3)}{3(x+1)(2x-3)}=0

    A questo punto interviene il secondo principio di equivalenza delle equazioni che ci permette di cancellare il denominatore comune e di ricondurci all'equazione equivalente

    30x-15-5(x+1)(2x-3)=0

    Eseguiamo il prodotto

    \\ 30x-15-5(2x^2-3x+2x-3)=0 \\ \\ 30x-15-5(2x^2-x-3)=0

    da cui

    30x-15-10x^2+5x+15=0

    Sommiamo i monomi simili e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti di x

    -10x^2+35x=0

    Abbiamo ottenuto un'equazione di secondo grado spuria che possiamo risolvere raccogliendo totalmente il fattore comune 5x

    5x(-2x+7)=0

    e sfruttando a dovere la legge di annullamento del prodotto. Questa regola garantisce che il prodotto al primo membro è nullo se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero. Otteniamo così le due equazioni di primo grado

    5x=0 \ \vee \ -2x+7=0

    che si risolvono isolando l'incognita al primo membro

    x=0 \ \vee \ x=\frac{7}{2}

    Entrambi i valori rispettano le condizioni di esistenza, di conseguenza essi rappresentano le soluzioni dell'equazione fratta.

    Concludiamo quindi che l'equazione di partenza è determinata e il suo insieme soluzione è:

    S=\left\{0,\frac{7}{2}\right\}

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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