Jacobiano

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Come si calcola lo Jacobiano di un cambiamento di coordinate? E al di là di questo: qual è la definizione di Jacobiano associato ad un cambiamento di coordinate?

Domanda di Cimino

 
Soluzioni

  • Prima di procedere con la definizione vorrei partire da una premessa per introdurre adeguatamente la nozione di Jacobiano.

    Premessa sui cambiamenti di coordinate

    Supponiamo assegnato un sistema di equazioni che determina un cambiamento di coordinate.

    Per semplicità consideriamo un cambiamento di coordinate nel piano e, ad esempio, facciamo riferimento alle leggi che permettono di passare dalle coordinate cartesiane (x,y) nel piano alle coordinate polari (\rho,\theta)

    \begin{cases}x=\rho\cos{(\theta)}\\ y=\rho\sin{(\theta)}\end{cases}

    Possiamo esprimere tali leggi sotto forma di funzioni in due variabili a valori reali

    \begin{cases}x=f_1(\rho,\theta)\\ y=f_2(\rho,\theta)\end{cases}

    Tali funzioni effettuano il passaggio dalle coordinate cartesiane (x,y) alle coordinate polari (\rho,\theta), e osserva che sono funzioni che associano alle variabili polari le variabili cartesiane.

    Questo è un primo importantissimo aspetto dei cambiamenti di coordinate: se vogliamo passare da un sistema di coordinate R ad un sistema di coordinate R' ci servono delle funzioni che esprimano le coordinate di R in funzione delle coordinate di R'.

    Componendo tali funzioni con un'assegnata funzione riferita al sistema di coordinate R otteniamo la medesima funzione riferita al sistema di coordinate R'. Per dare un'idea:

    F(x_1,...,x_n)=F(f_1(x_1',...,x_n'),...,f_n(x_1',...,x_n'))

    Definizione di Jacobiano 

    Prima di definire lo Jacobiano associato ad un cambiamento di coordinate, ci serve la nozione di matrice Jacobiana associata ad un cambiamento di coordinate da un sistema R ad un sistema R'.

    Se il cambiamento di coordinate è definito mediante le n funzioni

    \begin{cases}x_1=f_1(x_1',...,x_n')\\ \vdots \\ x_n=f_n(x_1',...,x_n')\end{cases}

    è definita come la matrice data da

    \left[\begin{matrix}\displaystyle{\frac{\partial f_1}{\partial x_1'}} & & \displaystyle{\frac{\partial f_1}{\partial x_2'}} & & \displaystyle{...} & & \displaystyle{\frac{\partial f_1}{\partial x_n'}} \\ \\ \displaystyle{\frac{\partial f_2}{\partial x_1'}} & & \displaystyle{\frac{\partial f_2}{\partial x_2'}} & & \displaystyle{...} & & \displaystyle{\frac{\partial f_2}{\partial x_n'}} \\ \\ \displaystyle{\vdots} & & \displaystyle{\vdots} & & \displaystyle{\ddots} & & \displaystyle{\vdots} \\ \\ \displaystyle{\frac{\partial f_n}{\partial x_1'}} & & \displaystyle{\frac{\partial f_n}{\partial x_2'}} & & \displaystyle{...} & & \displaystyle{\frac{\partial f_n}{\partial x_n'}}\end{matrix}\right]

    Il determinante della matrice appena scritta è lo Jacobiano associato al cambiamento di coordinate.

    Utilizzo dello Jacobiano

    Il modulo dello Jacobiano è quello che serve per esprimere la variazione dell'elemento d'area (o di volume) nel passaggio dal sistema di riferimento R:(x_1,...,x_n) al sistema R':(x_1',...,x_n').

    È quello che serve per ottenere il nuovo elemento d'area (o di volume) nel calcolo degli integrali, per intenderci. ;)

    Per esercizio, puoi provare a calcolare lo Jacobiano del cambiamento di coordinate nel caso:

    - delle coordinate polari in due dimensioni;

    - delle coordinate sferiche in tre dimensioni;

    - delle coordinate cilindriche in tre dimensioni.

    Se vuoi dare un'occhiata alla lezione di riferimento: Jacobiano dei cambiamenti di coordinate, dove spieghiamo nel dettaglio la teoria e l'utilizzo pratico dello jacobiano negli esercizi. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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