Soluzioni
  • Ciao Tommo, arrivo :)

    Risposta di Ifrit
  • Qui intanto risolviamo il primo esercizio. Per il secondo devi aprire una nuova domanda. Questo permette di avere una discussione pulita. Grazie per la comprensione.

    Iniziamo con i dati, e con il formulario sul rombo e sul prisma retto

    \begin{cases}P_{rombo}= 60\,\, cm\\ d_1= \ell\\S_{tot\,\,cubo}= 1944\,\, cm^2\\ h_{prisma}= \frac{2}{3}h_{pir}\\ h_{prisma }= 9\,\, cm\\ V=? \\ S_{tot\,\, solido}=?\end{cases}

    Dal perimetro del rombo calcoliamo il lato:

    L= P_{rombo}:4= 60: 4= 15\,\, cm

    Calcoliamo ora il lato del cubo, utilizzando le formule inverse:

    \ell= \sqrt{S_{tot\,\, cubo}:6}= \sqrt{1944: 6}=\sqrt{324}=  18\,\, cm

    Sappiamo quindi anche la diagonale del rombo essendo uguale al lato del cubo.

    d_1=18\,\, cm

    con il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha per cateti le semidiagonali abbiamo:

    d_2=2\times\sqrt{L^2-\left(d_1:2\right)^2}= 2\times\sqrt{15^2-9^2}= 2\sqrt{144}= 2\times\sqrt{144}= 24\,\, cm

    Avendo a disposizione le diagonali del rombo possiamo calcolare l'area di base:

    A_{base}= \frac{d_1\times d_2}{2}= \frac{18\times 24}{2}= 216\,\, cm^2

    Abbiamo bisogno dell'altezza di entrambi i solidi, sappiamo che:

    h_{prisma}= 9\,\, cm

    Mentre:

    h_{pir}= \frac{3}{2}\times 9= \frac{27}{2}=13.5\,\, cm

    Con queste informazioni possiamo calcolare la superficie laterale dei due poligoni:

    S_{lat\,\, prisma}= P_{base}\times h_{prisma}= 60\times 9=540\,\, cm^2

     

    La superficie totale del prisma è:

    S_{tot\,\, prisma}= 2\times A_{base}+S_{lat\,\, prisma}=972\,\, cm^2

    Il volume è:

    V_{prisma}= A_{base}\times h= 216\times 9=1944\,\, cm^3

    Adesso concentriamoci sulla piramide:

    V_{pir}= \frac{A_{base}\times h}{3}= \frac{216\times 13.5}{3}=972\,\, cm^3

    Il volume totale del solido è:

    V_{solido}= V_{prisma}+V_{pir}= 1944+972=2916\,\,cm^3

    Adesso abbiamo bisogno dell'apotema della base:

    a_{rombo}= \frac{2A_{base}}{P_{base}}= \frac{2\times 216}{60}=7.2\,\, cm

    Calcoliamo l'apotema della piramide:

    a_{pir}= \sqrt{h^2+a_{rombo}^2}= \sqrt{13.5^2+7.2^2}=15.3

    Possiamo calcolare la superficie laterale della piramide:

    S_{lat\,\, pir}=\frac{P_{base}\times a_{pir}}{2}= \frac{60\times 15.3}{2}=459\,\, cm^2

    Possiamo calcolare la superficie totale del solido:

    S_{tot}= S_{lat\,\, prisma}+S_{lat\,\, pir}+A_{base}= 540+459+216= 1215\,\, cm^2

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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