Iperbole equilatera passante per un punto

Buongiorno non riesco a risolvere il seguente problema sull'iperbole equilatera, devo determinare l'equazione di un'iperbole equilatera conoscendo un punto di passaggio e...altro. :p

A: Scrivi l'equazione dell'iperbole equilatera avente i vertici sull'asse y e passante per il punto A di coordinate (3, -5).

B: Sia B il simmetrico di A rispetto all'asse delle ascisse. Determina l'equazione della tangente t all'iperbole nel punto B.

C: Calcola l'area della parte di piano individuata dalla retta t, dall'asse delle ascisse e dall'asintoto dell'iperbole avente coefficiente angolare positivo.

Grazie in anticipo!

In Superiori - Geometria - Domanda di ZioNiko

Soluzioni

Ciao ZioNiko arrivo :D

Risposta di Ifrit
Eccoci, ti suggerisco di tenere a portata le formule sull'iperbole, ti aiuteranno nella risoluzione del problema.

A:

L'iperbole equilatera con vertici sull'asse Y ha equazione:

Imponiamo il passaggio per il punto A:

$A\in I\iff 3^2-(-5)^2= -a^2\iff 9-25=-a^2\iff a^2= 16$

L'equazione dell'iperbole è quindi:

che scritta in forma canonica è:

$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16}=-1$

B:

Il punto B è il simmetrico di A rispetto all' asse X quindi le sue coordinate sono:

Nota che:

$B(3, 5)\in I$

infatti:

quindi le coordinate del punto soddisfano l'equazione dell'iperbole. Possiamo quindi utilizzare le formule di sdoppiamento, è sufficiente effettuare la seguente sostituzione nella espressione che definisce l'iperbole:

$x^2\longrightarrow x_0 x= 3x$

$y^2\longrightarrow y_0 y= 5y$

Otteniamo quindi:

$3x-5y= -16\iff t: 3x-5y +16=0$

C:

Prima di procedere con l'esercizio, calcoliamo gli asintoti dell'iperbole:

$y=\pm x$

A noi interessa la retta con coefficiente angolare positivo quindi:

che è la bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Determiniamo a questo punto le intersezioni delle rette in modo da determinare i tre punti che sono i vertici del triangolo:

$\begin{cases}y=x\\ y=0\end{cases}$

Il primo punto è ovviamente

$\begin{cases}y=x\\ 3x-5y+16=0\end{cases}$

Procedendo per sostituzione:

$3x-5x+16=0\iff -2x=-16\iff x= 8$

Ovviamente l'ordinata è y=8

Calcoliamo il punto di intersezione tra la retta t e l'asse X:

$\begin{cases}3x-5y+16=0\\ y=0\end{cases}$

$x= -\frac{16}{3}$

Il punto H ha coordiate:

$H= \left(-\frac{16}{3},0\right)$

Unendo questi punti otterrai un triangolo. Per determinare l'area senza troppi problemi consideriamo come base il segmento di estremi O(0, 0) e H(-16/3, 0)

Hanno la stessa ordinata quindi la distanza si trova immediatamente:

$b=OH= \left|-\frac{16}{3}\right|= \frac{16}{3}$

Per altezza consideriamo la distanza tra il punto di coordinate G(8, 8) e l'asse X, anche questo caso il calcolo è immediato, basta considerare l'ordinata del punto:

L'area del triangolo è quindi:

$A_{tria}= \frac{b\times h}{2}= \frac{16\times 8}{2\times3}=\frac{64}{3}$

Se hai domande sono qui :)

Risposta di Ifrit
@ ZioNiko, se non avessi fatto le formule di sdoppiamento, gentilmente avvertimi :D

Risposta di Ifrit
Tutto chiaro, complimenti per l'esauriente spiegazione. Comunque le formule di sdoppiamento sono state oggetto di studio...

Grazie mille!

Risposta di ZioNiko
Eccomi, dammi il tempo di costruire il grafico e arrivo :D

Risposta di Ifrit
Ecco il grafico. Forse è uscito molto piccolo, ma spero che si capisca. Se non ti è chiaro qualcosa sai cosa fare :)

Risposta di Ifrit
La parabola passa per il punto di ordinata 4... come si determina?

Risposta di ZioNiko
Iperbole, ho sbagliato...

Risposta di ZioNiko
Scusami per il ritardo.. Cosa intendi "come si determina"? Nel senso come si disegna? Per disegnarla, considera i vertici reali, che in questo caso sono (0, 4) e (0, -4), considera inoltre gli asintoti che sono:

$y=\pm x$

cioè le bisettrici del primo e terzo quadrante e secondo e quarto. Dopo di che prova a tracciare la curva. Non potrà mai essere perfetta ma è meglio di niente.. A già, imponi il passaggio per i punti A e B.

Per determinare i vertici reali bisogna utilizzare in questo caso le formule:

$V(0, \pm b)$

in questo caso b è:

$b=\sqrt{b^2}= \sqrt{16}=4$

Risposta di Ifrit
Non mi è molto chiaro... potresti farmi capire passaggio per passaggio?

Risposta di ZioNiko
Ok, per prima cosa disegna un sistema di assi coordinati OXY.

L'equazione dell'iperbole che risolve l'esercizio è:

$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16}=-1$

Da cui si capisce che:

e

Per disegnare un'iperbole hai bisogno dei vertici reali, che sono i punti di intersezione tra l'iperbole e l'asse Y (in questo caso)

La formula dei vertici è:

$V(0, \pm b)$

Abbiamo visto che

$b^2=16\implies b=4$

Hai quindi due punti di riferimento:

$V_{1}(0, 4)$

Questo punto appartiene al ramo superiore dell'iperbole

e

questo appartiene al ramo inferiore.

Ora sappiamo che il ramo superiore dell'iperbole passa per il punto B(3, 5)

mentre il ramo inferiore passa per il punto A(3, -5)

Hai bisogno degli asintoti dell'iperbole. Essi non si intersecano con l'iperbole stessa, però i suoi rami si avvicinano sempre di più agli asintoti. Ti permette di essere più preciso.

Meglio di così non riesco a fare :(

Risposta di Ifrit
Adesso ho capito! Grazie mille per l'aiuto!

Risposta di ZioNiko