Soluzioni
  • Ciao ZioNiko arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Eccoci, ti suggerisco di tenere a portata le formule sull'iperbole, ti aiuteranno nella risoluzione del problema.

    A:

    L'iperbole equilatera con vertici sull'asse Y ha equazione:

    I:x^2-y^2=- a^2

    Imponiamo il passaggio per il punto A:

    A\in I\iff 3^2-(-5)^2= -a^2\iff 9-25=-a^2\iff a^2= 16

    L'equazione dell'iperbole è quindi:

    x^2- y^2= -16

    che scritta in forma canonica è:

    \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16}=-1

    B:

    Il punto B è il simmetrico di A rispetto all' asse X quindi le sue coordinate sono:

    B(3, 5)

    Nota che:

    B(3, 5)\in I

    infatti:

    3^2-5^2= -16

    quindi le coordinate del punto soddisfano l'equazione dell'iperbole. Possiamo quindi utilizzare le formule di sdoppiamento, è sufficiente effettuare la seguente sostituzione nella espressione che definisce l'iperbole:

    x^2\longrightarrow x_0 x= 3x

    y^2\longrightarrow y_0 y= 5y

    Otteniamo quindi:

    3x-5y= -16\iff t: 3x-5y +16=0

    C:

    Prima di procedere con l'esercizio, calcoliamo gli asintoti dell'iperbole:

    y=\pm x

    A noi interessa la retta con coefficiente angolare positivo quindi:

    y=x

    che è la bisettrice del primo e del terzo quadrante. 

    Determiniamo a questo punto le intersezioni delle rette in modo da determinare i tre punti che sono i vertici del triangolo:

    \begin{cases}y=x\\ y=0\end{cases}

    Il primo punto è ovviamente

    O(0, 0)

    \begin{cases}y=x\\ 3x-5y+16=0\end{cases}

    Procedendo per sostituzione:

    3x-5x+16=0\iff -2x=-16\iff x= 8

    Ovviamente l'ordinata è y=8

    G(8, 8)

    Calcoliamo il punto di intersezione tra la retta t e l'asse X:

    \begin{cases}3x-5y+16=0\\ y=0\end{cases}

    x= -\frac{16}{3}

    Il punto H ha coordiate:

    H= \left(-\frac{16}{3},0\right)

    Unendo questi punti otterrai un triangolo. Per determinare l'area senza troppi problemi consideriamo come base il segmento di estremi O(0, 0) e H(-16/3, 0)

    Hanno la stessa ordinata quindi la distanza si trova immediatamente:

    b=OH= \left|-\frac{16}{3}\right|= \frac{16}{3}

    Per altezza consideriamo la distanza tra il punto di coordinate G(8, 8) e l'asse X, anche questo caso il calcolo è immediato, basta considerare l'ordinata del punto:

    h= 8

    L'area del triangolo è quindi:

    A_{tria}= \frac{b\times h}{2}= \frac{16\times 8}{2\times3}=\frac{64}{3}

    Se hai domande sono qui :)

    Risposta di Ifrit
  • @ ZioNiko, se non avessi fatto le formule di sdoppiamento, gentilmente avvertimi :D

    Risposta di Ifrit
  • Tutto chiaro, complimenti per l'esauriente spiegazione. Comunque le formule di sdoppiamento sono state oggetto di studio...

    Grazie mille!

    Risposta di ZioNiko
  • Eccomi, dammi il tempo di costruire il grafico e arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Ecco il grafico. Forse è uscito molto piccolo, ma spero che si capisca. Se non ti è chiaro qualcosa sai cosa fare :)

    Risposta di Ifrit
  • La parabola passa per il punto di ordinata 4... come si determina?

    Risposta di ZioNiko
  • Iperbole, ho sbagliato...

    Risposta di ZioNiko
  • Scusami per il ritardo.. Cosa intendi "come si determina"? Nel senso come si disegna? Per disegnarla, considera i vertici reali, che in questo caso sono  (0, 4) e (0, -4), considera inoltre gli asintoti che sono:

    y=\pm x

    cioè le bisettrici del primo e terzo quadrante e secondo e quarto. Dopo di che prova a tracciare la curva. Non potrà mai essere perfetta ma è meglio di niente.. A già, imponi il passaggio per i punti A e B.

    Per determinare i vertici reali bisogna utilizzare in questo caso le formule:

    V(0, \pm b)

    in questo caso b è:

    b=\sqrt{b^2}= \sqrt{16}=4

    Risposta di Ifrit
  • Non mi è molto chiaro... potresti farmi capire passaggio per passaggio?

    Risposta di ZioNiko
  •  

    Ok, per prima cosa disegna un sistema di assi coordinati OXY.

    L'equazione dell'iperbole che risolve l'esercizio è:

    \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16}=-1

    Da cui si capisce che:

    a^2=16

    e

    b^2=16

    Per disegnare un'iperbole hai bisogno dei vertici reali, che sono i punti di intersezione tra l'iperbole e l'asse Y (in questo caso)

    La formula dei vertici è:

    V(0, \pm b)

    Abbiamo visto che 

    b^2=16\implies b=4

    Hai quindi due punti di riferimento:

    V_{1}(0, 4)

    Questo punto appartiene al ramo superiore dell'iperbole

    e

    V_2(0, -4)

    questo appartiene al ramo inferiore.

    Ora sappiamo che il ramo superiore dell'iperbole passa per il punto B(3, 5)

    mentre il ramo inferiore passa per il punto A(3, -5)

    Hai bisogno degli asintoti dell'iperbole. Essi non si intersecano con l'iperbole stessa, però i suoi rami si avvicinano sempre di più agli asintoti. Ti permette di essere più preciso. 

    Meglio di così non riesco a fare :(

    Risposta di Ifrit
  • Adesso ho capito! Grazie mille per l'aiuto!

    Risposta di ZioNiko
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