Soluzioni
  • Eccoci, ti suggerisco di tenere a portata le formule sull'iperbole, ti aiuteranno nella risoluzione del problema.

    Risoluzione del punto A)

    L'iperbole equilatera con vertici sull'asse Y ha equazione:

    I:x^2-y^2 = -a^2

    Imponiamo il passaggio per il punto A:

    A∈ I ⇔ 3^2-(-5)^2 = -a^2 ⇔ 9-25 = -a^2 ⇔ a^2 = 16

    L'equazione dell'iperbole è quindi:

    x^2-y^2 = -16

    che scritta in forma canonica è:

    (x^2)/(16)-(y^2)/(16) = -1

    Risoluzione del punto B)

    Il punto B è il simmetrico di A rispetto all' asse X, quindi le sue coordinate sono:

    B(3, 5)

    Nota che B(3, 5)∈ I, infatti:

    3^2-5^2 = -16

    quindi le coordinate del punto soddisfano l'equazione dell'iperbole. Possiamo quindi utilizzare le formule di sdoppiamento, è sufficiente effettuare la seguente sostituzione nella espressione che definisce l'iperbole:

    x^2 longrightarrow x_0 x = 3x

    y^2 longrightarrow y_0 y = 5y

    Otteniamo quindi:

    3x-5y = -16 ⇔ t: 3x-5y+16 = 0

    Risoluzione del punto C)

    Prima di procedere con l'esercizio, calcoliamo gli asintoti dell'iperbole:

    y = ±x

    A noi interessa la retta con coefficiente angolare positivo, quindi:

    y = x

    che è la bisettrice del primo e del terzo quadrante

    Determiniamo a questo punto le intersezioni delle rette in modo da determinare i tre punti che sono i vertici del triangolo:

    y = x ; y = 0

    Il primo punto è ovviamente O(0, 0)

    y = x ; 3x-5y+16 = 0

    Procedendo per sostituzione:

    3x-5x+16 = 0 ⇔ -2x = -16 ⇔ x = 8

    Ovviamente l'ordinata è y = 8

    G(8, 8)

    Calcoliamo il punto di intersezione tra la retta t e l'asse X:

    3x-5y+16 = 0 ; y = 0

    x = -(16)/(3)

    Il punto H ha coordinate:

    H = (-(16)/(3),0)

    Unendo questi punti otterrai un triangolo. Per determinare l'area senza troppi problemi consideriamo come base il segmento di estremi O(0, 0) e H(-(16)/(3),0). Hanno la stessa ordinata, quindi la distanza si trova immediatamente:

    b = OH = |-(16)/(3)| = (16)/(3)

    Per altezza consideriamo la distanza tra il punto di coordinate G(8, 8) e l'asse X, anche questo caso il calcolo è immediato, basta considerare l'ordinata del punto:

    h = 8

    L'area del triangolo è quindi:

    A_(tria) = (b·h)/(2) = (16·8)/(2·3) = (64)/(3)

    Ecco il grafico:

     

    Esercizio iperbole passante per un punto e triangolo

     

    Se non ti è chiaro qualcosa, sai cosa fare :)

    Risposta di Ifrit
 
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