Soluzioni
  • Eccoci, ti suggerisco di tenere a portata le formule sull'iperbole, ti aiuteranno nella risoluzione del problema.

    Risoluzione del punto A)

    L'iperbole equilatera con vertici sull'asse Y ha equazione:

    I:x^2-y^2=- a^2

    Imponiamo il passaggio per il punto A:

    A\in I\iff 3^2-(-5)^2= -a^2\iff 9-25=-a^2\iff a^2= 16

    L'equazione dell'iperbole è quindi:

    x^2- y^2= -16

    che scritta in forma canonica è:

    \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16}=-1

    Risoluzione del punto B)

    Il punto B è il simmetrico di A rispetto all' asse X, quindi le sue coordinate sono:

    B(3, 5)

    Nota che B(3, 5)\in I , infatti:

    3^2-5^2= -16

    quindi le coordinate del punto soddisfano l'equazione dell'iperbole. Possiamo quindi utilizzare le formule di sdoppiamento, è sufficiente effettuare la seguente sostituzione nella espressione che definisce l'iperbole:

    x^2\longrightarrow x_0 x= 3x

    y^2\longrightarrow y_0 y= 5y

    Otteniamo quindi:

    3x-5y= -16\iff t: 3x-5y +16=0

    Risoluzione del punto C)

    Prima di procedere con l'esercizio, calcoliamo gli asintoti dell'iperbole:

    y=\pm x

    A noi interessa la retta con coefficiente angolare positivo, quindi:

    y=x

    che è la bisettrice del primo e del terzo quadrante

    Determiniamo a questo punto le intersezioni delle rette in modo da determinare i tre punti che sono i vertici del triangolo:

    \begin{cases}y=x\\ y=0\end{cases}

    Il primo punto è ovviamente O(0, 0)

    \begin{cases}y=x\\ 3x-5y+16=0\end{cases}

    Procedendo per sostituzione:

    3x-5x+16=0\iff -2x=-16\iff x= 8

    Ovviamente l'ordinata è y=8

    G(8, 8)

    Calcoliamo il punto di intersezione tra la retta t e l'asse X:

    \begin{cases}3x-5y+16=0\\ y=0\end{cases}

    x= -\frac{16}{3}

    Il punto H ha coordinate:

    H= \left(-\frac{16}{3},0\right)

    Unendo questi punti otterrai un triangolo. Per determinare l'area senza troppi problemi consideriamo come base il segmento di estremi O(0, 0) e H\left(-\frac{16}{3},0\right). Hanno la stessa ordinata, quindi la distanza si trova immediatamente:

    b=OH= \left|-\frac{16}{3}\right|= \frac{16}{3}

    Per altezza consideriamo la distanza tra il punto di coordinate G(8, 8) e l'asse X, anche questo caso il calcolo è immediato, basta considerare l'ordinata del punto:

    h= 8

    L'area del triangolo è quindi:

    A_{tria}= \frac{b\cdot h}{2}= \frac{16\cdot 8}{2\cdot 3}=\frac{64}{3}

    Ecco il grafico:

     

    Esercizio iperbole passante per un punto e triangolo

     

    Se non ti è chiaro qualcosa, sai cosa fare :)

    Risposta di Ifrit
 
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