Scelta delle coordinate polari per 2 integrali doppi

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Buongiorno ragazzi, stavo affrontando due integrali doppi e ho pensato di calcolarli passando alle coordinate polari. Mi servivano delle conferme o eventualmente dei suggerimenti sulla scelta del procedimento più comodo.

 

Come dicevo, ho intuito che mi conviene passare alle coordinate polari, ma se va bene come si fa? Riesco a immaginarlo graficamente ma non so come impostare i nuovi estremi per gli insiemi di integrazione né come risolverlo.

 

Ecco qui:

 

∫∫D 2ycos(x) dxdy, dove D è l'intersezione tra il cerchio unitario centrato nell'origine e il semipiano y≥(1-x).

 

∫∫D |x|/y dxdy, dove D = { (x,y)€R2 : 1 ≤x2+y2≤16 : 0 ≤x≤|y| }.

Domanda di Cimino

 
Soluzioni

  • Per quanto riguarda il primo integrale

    ∫∫_(D)2ycos(x)dxdy

    non conviene passare ad un sistema di coordinate polari: è sufficiente individuare le intersezioni tra circonferenza unitaria e retta y = 1-x, che sono date da

    (0,1),(1,0)

    e scrivere il dominio D nella forma

    0 ≤ x ≤ 1 e 1-x ≤ y ≤ √(1-x^2)

    per cui basta calcolare

    ∫_(0)^(1)∫_(1-x)^(√(1-x^2))2ycos(x)dydx

    Per quanto riguarda il secondo, invece, conviene passare in coordinate polari. Se disegni il dominio è facile vedere che D è definito da

    1 ≤ ρ ≤ 4

    e

    (π)/(4) ≤ x ≤ (π)/(2) ∨ (3π)/(2) ≤ x ≤ (7π)/(4)

    infatti D è la porzione di piano data dall'intersezione tra la corona circolare e la porzione di piano compresa tra le due bisettrici y = ±x e l'asse delle ordinate nel semipiano delle ascisse positive.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Grazie e scusami se non ho replicato subito, a prima vista non c' erano dubbi. ora ho capito qual' è il dominio, ma ancora non mi è chiaro come scrivere l' integrale. puoi aiutarmi? grazie e scusa

    Risposta di Cimino

  • Certamente, nessun problema Wink

    Puoi scrivere l'integrale come

    ∫_(1)^(4)[∫_((π)/(4))^((π)/(2))(|ρcos(θ)|)/(ρsin(θ))ρ dθ+∫_((3π)/(2))^((7π)/(4))(|ρcos(θ)|)/(ρsin(θ))ρ dθ]dρ

    (occhio allo Jacobiano del cambiamento di coordinate)

    Dato che il coseno è positivo nel primo e nel quarto quadrante

    ∫_(1)^(4)[∫_((π)/(4))^((π)/(2))(cos(θ))/(sin(θ))ρ dθ+∫_((3π)/(2))^((7π)/(4))(cos(θ))/(sin(θ))ρ dθ]dρ

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Ah già! lo jacobiano! Grazie! posso chiederti come lo calcoli in questa domanda o è meglio aprirne un' altra? Questa

     poi la eliminiamo o preferisci che metto comunque problema risolto?

    Risposta di Cimino

  • Intendi come si calcola quest'ultimo integrale? 

    Risposta di Omega

  • no, no intendo come faccio per determinare questo "jacobiano" di cui mi avevano parlato anche i miei amici e quando devo invevce moltiplicare per il suo inverso, ma forse è meglio aprire una domanda a parte.

    Risposta di Cimino

  • Sì, sarebbe meglio, anche perché potremmo poi "riciclare" la risposta tantissime volte Laughing

    Dai, ci vediamo in una nuova D&R.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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