Soluzioni
  • Per quanto riguarda il primo integrale

    \int\int_{D}{2y\cos{(x)}dxdy}

    non conviene passare ad un sistema di coordinate polari: è sufficiente individuare le intersezioni tra circonferenza unitaria e retta y=1-x, che sono date da

    (0,1),(1,0)

    e scrivere il dominio D nella forma

    0\leq x\leq 1 e 1-x\leq y\leq \sqrt{1-x^2}

    per cui basta calcolare

    \int_{0}^{1}\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}{2y\cos{(x)}dydx}

    Per quanto riguarda il secondo, invece, conviene passare in coordinate polari. Se disegni il dominio è facile vedere che D è definito da

    1\leq \rho\leq 4

    e

    \frac{\pi}{4}\leq x\leq \frac{\pi}{2} \vee \frac{3\pi}{2}\leq x\leq \frac{7\pi}{4}

    infatti D è la porzione di piano data dall'intersezione tra la corona circolare e la porzione di piano compresa tra le due bisettrici y=\pm x e l'asse delle ordinate nel semipiano delle ascisse positive.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie e scusami se non ho replicato subito, a prima vista non c' erano dubbi. ora ho capito qual' è il dominio, ma ancora non mi è chiaro come scrivere l' integrale. puoi aiutarmi? grazie e scusa

    Risposta di Cimino
  • Certamente, nessun problema Wink

    Puoi scrivere l'integrale come

    \int_{1}^{4}{\left[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{|\rho\cos{(\theta)}|}{\rho\sin{(\theta)}}\rho d\theta}+\int_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{7\pi}{4}}{\frac{|\rho\cos{(\theta)}|}{\rho\sin{(\theta)}}\rho d\theta}\right]d\rho}

    (occhio allo Jacobiano del cambiamento di coordinate)

    Dato che il coseno è positivo nel primo e nel quarto quadrante

    \int_{1}^{4}{\left[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{(\theta)}}{\sin{(\theta)}}\rho d\theta}+\int_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{7\pi}{4}}{\frac{\cos{(\theta)}}{\sin{(\theta)}}\rho d\theta}\right]d\rho}

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ah già! lo jacobiano! Grazie! posso chiederti come lo calcoli in questa domanda o è meglio aprirne un' altra? Questa

     poi la eliminiamo o preferisci che metto comunque problema risolto?

    Risposta di Cimino
  • Intendi come si calcola quest'ultimo integrale? 

    Risposta di Omega
  • no, no intendo come faccio per determinare questo "jacobiano" di cui mi avevano parlato anche i miei amici e quando devo invevce moltiplicare per il suo inverso, ma forse è meglio aprire una domanda a parte.

    Risposta di Cimino
  • Sì, sarebbe meglio, anche perché potremmo poi "riciclare" la risposta tantissime volte Laughing

    Dai, ci vediamo in una nuova D&R.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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