Soluzioni
  • Il dominio della funzione

    f(x)=\sqrt{\sin(x)-\cos(x)+1}

    è determinato dalla condizione di esistenza delle radici con indice pari: dobbiamo richiedere che il radicando sia maggiore o al più uguale a zero. 

    Tale condizione conduce alla disequazione goniometrica lineare

    \sin(x)-\cos(x)+1\ge 0

    che possiamo risolvere avvalendoci del metodo dell'angolo aggiunto. Consiste nell'esprimere la somma

    A\sin(x)+B\cos(x)

    in funzione del seno, o più precisamente, nella forma

    R\sin(x+\phi)

    dove R è il numero reale definito come la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti di seno e coseno

    R=\sqrt{A^2+B^2}

    mentre \phi è l'angolo dell'intervallo [-\pi,\pi) che realizza il sistema

    \begin{cases}\cos(\phi)=\frac{A}{R} \\ \\ \sin(\phi)=\frac{B}{R}\end{cases}

    Nel nostro caso il coefficiente del seno e quello del coseno valgono rispettivamente

    A=1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=-1

    pertanto

    R=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}

    mentre il sistema che definisce \phi è

    \begin{cases}\cos(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \sin(\phi)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}

    dal quale ricaviamo che \phi=-\frac{\pi}{4}. Con i valori di R e \phi possiamo esprimere la disequazione

    \sin(x)-\cos(x)+1\ge 0

    nella forma equivalente

    \sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\ge -1\ \to \ \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\ge -\frac{1}{\sqrt{2}}

    Ci siamo ricondotti ad una disequazione elementare in seno, soddisfatta nel momento in cui l'argomento giace negli intervalli del tipo \left[-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right] al variare di k nell'insieme dei numeri interi. Ciò equivale a richiedere che sussista la doppia disequazione

    -\frac{\pi}{4}+2k\pi\le x-\frac{\pi}{4}\le \frac{5\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

    da cui, sommando \frac{\pi}{4} ai tre membri, ricaviamo 

    2k\pi\le x \le \frac{3\pi}{2}+2k\pi \ \ \ \mbox{con}\ k\in\mathbb{Z}

    o equivalentemente

    x\in\left[2k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi\right] \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

    Il dominio di f(x) si ottiene unendo tutti gli intervalli trovati al variare del parametro intero k. Formalmente l'insieme di esistenza della funzione può essere espresso come

    Dom(f)=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left[2k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi\right]

    dove il simbolo \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} indica l'unione numerabile al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

    Risposta di Ifrit
 
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