Integrale di funzioni fratte con esponenziali

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Buon pomeriggio ho l'integrale di una funzione fratta con termini esponenziali, mi aiutate a calcolarlo per piacere?

 

Integrale di e^x / (3e^x+2) dx

 

Avevo pensato di spezzare il denominatore e calcolare due integrali separati, può andare? Grazie... :D

Domanda di Federica90

 
Soluzioni

  • Ciao Federica90 arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Abbiamo l'integrale:

    ∫ (e^x)/(3e^x+2)dx

    Procediamo integrando per sostituzione, poniamo:

    t = e^x ⇒ dt = e^x dx

    L'integrale quindi si riscrive come:

    ∫ (e^xdx (= dt))/(3e^x (t)+2) = ∫ (1)/(3t+2)dt =

    A questo punto mettiamo in evidenza il tre al denominatore:

    ∫ (1)/(3(t+(2)/(3)))dt =

    Portiamo fuori dal simbolo di integrale 1/3, lo possiamo fare perché è una costante moltiplicativa:

    (1)/(3)∫ (1)/(t+(2)/(3))dt =

    Ci siamo ricondotti ad un integrale noto il cui risultato è:

    (1)/(3)∫ (1)/(t+(2)/(3))dt = (1)/(3)ln|t+(2)/(3)|+c

    A questo punto ricorda che t= e^x e sostituisci:

    (1)/(3)ln|t+(1)/(3)|+c = (1)/(3)ln|e^(x)+(2)/(3)|+c

    Il valore assoluto è superfluo perché l'argomento del logaritmo è positivo:

    (1)/(3)ln(e^(x)+(2)/(3))+c

    Finito, se hai domande sono qui :)

    Risposta di Ifrit
 
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