Soluzioni
  • Ciao Federica90 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo l'integrale:

    \int \frac{e^x}{3e^x+2}dx

    Procediamo integrando per sostituzione, poniamo:

    t= e^x\implies dt= e^x dx

    L'integrale quindi si riscrive come:

    \int \frac{\overbrace{e^xdx}^{= dt}}{3\underbrace{e^x}_{t}+2}=\int \frac{1}{3t+2}dt=

    A questo punto mettiamo in evidenza il tre al denominatore:

    \int \frac{1}{3\left(t+\frac{2}{3}\right)}dt=

    Portiamo fuori dal simbolo di integrale 1/3, lo possiamo fare perché è una costante moltiplicativa:

    \frac{1}{3}\int \frac{1}{t+\frac{2}{3}}dt=

    Ci siamo ricondotti ad un integrale noto il cui risultato è:

    \frac{1}{3}\int \frac{1}{t+\frac{2}{3}}dt=\frac{1}{3}\ln\left|t+\frac{2}{3}\right|+c

    A questo punto ricorda che t= e^x e sostituisci:

    \frac{1}{3}\ln\left|t+\frac{1}{3}\right|+c= \frac{1}{3}\ln\left|e^{x}+\frac{2}{3}\right|+c

    Il valore assoluto è superfluo perché l'argomento del logaritmo è positivo:

     \frac{1}{3}\ln\left(e^{x}+\frac{2}{3}\right)+c

    Finito, se hai domande sono qui :)

    Risposta di Ifrit
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