Esercizio sul vertice di una parabola

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Ciao, ho questo esercizio sul vertice di una parabola che non riesco a svolgere...

 

Si consideri la parabola di equazione y=ax^2+2(a-1)x+1. Per quali valori di a il vertice della parabola appartiene alla bisettrice del 1°- 3° quadrante?

So che la bisettrice del 1-3 quadrante ha equazione y=x e il Vertice ha coordinate -b/2a e -delta/4a ma non so che fare.

 

Grazie! :)

Domanda di Mindy

 
Soluzioni

  • Ciao Mindy, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Sei ad un passo dalla soluzione! :) Data la parabola 

    y = ax^2+2(a-1)x+1

    sai già che le coordinate del vertice della parabola (con asse parallelo all'asse delle ordinate) si determinano con le formule

    x_V = -(B)/(2A) = -(2(a-1))/(2a)

    y_V = -(Δ)/(4A) = -(B^2-4AC)/(4A) = -(4(a-1)^2-4a)/(4a)

    D'altra parte vogliamo che il vertice si trovi sulla bisettrice del primo terzo quadrante, per cui le sue coordinate devono soddisfarne l'equazione

    y = x

    il che vuol dire

    y_V = x_V

    il che a sua volta vuole dire: risolvere l'equazione

    -(2(a-1))/(2a) = -(4(a-1)^2-4a)/(4a)

    -(a-1)/(a) = -((a-1)^2-a)/(a)

    (a-1)/(a) = ((a-1)^2-a)/(a)

    essendo a ≠ 0 possiamo semplificare i denominatori moltiplicando entrambi i membri per a

    (a-1) = (a-1)^2-a

    ora è solo questione di fare un paio di conti

    a-1 = a^2-2a+1-a

    a^2-4a+2 = 0

    le cui soluzioni sono date da

    a_(1,2) = 2±√(2)

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • grazie mille :)

    Risposta di Mindy

  • Sei ad un passo dalla soluzione! :) Data la parabola 

    y = ax^2+2(a-1)x+1

    sai già che le coordinate del vertice della parabola (con asse parallelo all'asse delle ordinate) si determinano con le formule

    x_V = -(B)/(2A) = -(2(a-1))/(2a)

    y_V = -(Δ)/(4A) = -(B^2-4AC)/(4A) = -(4(a-1)^2-4a)/(4a)

    D'altra parte vogliamo che il vertice si trovi sulla bisettrice del primo terzo quadrante, per cui le sue coordinate devono soddisfarne l'equazione

    y = x

    il che vuol dire

    y_V = x_V

    il che a sua volta vuole dire: risolvere l'equazione

    -(2(a-1))/(2a) = -(4(a-1)^2-4a)/(4a)

    -(a-1)/(a) = -((a-1)^2-a)/(a)

    (a-1)/(a) = ((a-1)^2-a)/(a)

    essendo a ≠ 0 possiamo semplificare i denominatori moltiplicando entrambi i membri per a

    (a-1) = (a-1)^2-a

    ora è solo questione di fare un paio di conti

    a-1 = a^2-2a+1-a

    a^2-4a+2 = 0

    le cui soluzioni sono date da

    a_(1,2) = 2±√(2)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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