Disegnare un'iperbole e aree dei triangoli formati dalle tangenti

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Mi dareste una mano con questo problema di Geometria Analitica sull'iperbole?

 

Considera l'iperbole di equazione xy=12 e rappresentarla graficamente. Calcola poi le aree dei triangoli formati dagli assi cartesiani e dalle tangenti all'iperbole nei suoi punti di ascissa 4 e -6 e verifica che sono uguali.

 

Grazie in anticipo!

Domanda di ZioNiko

 
Soluzioni

  • Per quanto riguarda la rappresentazione dell'iperbole, abbiamo a che fare con un'iperbole equilatera il cui grafico è

     

    Grafico di un'iperbole

    (Grafico qualitativo!)

     

    Per determinare le rette tangenti al grafico dell'iperbole nei punti di ascissa x_1=-4, x_2=6 determiniamo innanzitutto le ordinate corrispondenti a tali valori d'ascissa

    y_1=\frac{12}{-4}=-3

    y_2=\frac{12}{6}=2

    Una generica retta passante per un punto P_{0}=(x_0,y_0) ha equazione data da

    y-y_0=m(x-x_0)

    per cui le due rette tangenti saranno della forma

    y+3=m_1(x+4)\to y=m_1x+4m_1-3

    y-2=m_2(x-6)\to y=m_2x-6m_2+2

    Mettendo a sistema l'equazione della retta tangente (con generico coefficiente angolare) con l'equazione dell'iperbole, e imponendo l'annullamento del delta dell'equazione di secondo grado che ne risulta, si determina il valore del coefficiente angolare della retta tangente.

    Una volta individuate le rette tangenti, chiamiamole r_1,r_2, sarà sufficiente metterne a sistema le equazioni con le equazioni degli assi per individuare i vertici del triangolo. Entrambi i triangoli hanno chiaramente come vertice (0,0) e sono triangoli rettangoli.

    Se chiamiamo (x_1,0),(0,y_1) e (x_2,0),(0,y_2) le intersezioni delle rette r_1,r_2 con gli assi, per calcolare le aree dei triangoli sarà sufficiente calcolare

    A_1=\frac{|x_1\cdot y_1|}{2}

    A_2=\frac{|x_2\cdot y_2|}{2}

    e vedere che sono uguali.

    Se dovessi avere difficoltà con i conti, fammelo sapere..

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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