Disegnare un'iperbole e aree dei triangoli formati dalle tangenti

Ciao, mi dareste una mano con questo problema di Geometria Analitica sull'iperbole? Grazie in anticipo!

Considera l'iperbole di equazione xy=12 e rappresentarla graficamente. Calcola poi le aree dei triangoli formati dagli assi cartesiani e dalle tangenti all'iperbole nei suoi punti di ascissa 4 e -6 e verifica che sono uguali.

In Superiori - Geometria - Domanda di ZioNiko

Soluzioni

Ciao ZioNiko, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega
Per quanto riguarda la rappresentazione dell'iperbole, abbiamo a che fare con un'iperbole equilatera il cui grafico è

(Grafico qualitativo!)

Per determinare le rette tangenti al grafico dell'iperbole nei punti di ascissa , determiniamo innanzitutto le ordinate corrispondenti a tali valori d'ascissa

$y_1=\frac{12}{-4}=-3$

$y_2=\frac{12}{6}=2$

Una generica retta passante per un punto $P_{0}=(x_0,y_0)$ ha equazione data da

per cui le due rette tangenti saranno della forma

$y+3=m_1(x+4)\to y=m_1x+4m_1-3$

$y-2=m_2(x-6)\to y=m_2x-6m_2+2$

Mettendo a sistema l'equazione della retta tangente (con generico coefficiente angolare) con l'equazione dell'iperbole, e imponendo l'annullamento del delta dell'equazione di secondo grado che ne risulta, si determina il valore del coefficiente angolare della retta tangente.

Fin qui tutto chiaro? :)

Namasté!

Risposta di Omega
Certo, fin qui ho capito tutto!

Risposta di ZioNiko
Perfetto :)

Una volta individuate le rette tangenti, chiamiamole , sarà sufficiente metterne a sistema le equazioni con le equazioni degli assi per individuare i vertici del triangolo. Entrambi i triangoli hanno chiaramente come vertice e sono triangoli rettangoli.

Se chiamiamo e le intersezioni delle rette con gli assi, per calcolare le aree dei triangoli sarà sufficiente calcolare

$A_1=\frac{|x_1\cdot y_1|}{2}$

$A_2=\frac{|x_2\cdot y_2|}{2}$

e vedere che sono uguali.

Se dovessi avere difficoltà con i conti, fammelo sapere..

Namasté!

Risposta di Omega
Non mi è molto chiaro come determinare x1, y1 e x2, y2...

Risposta di ZioNiko
Ok: dopo aver determinato le equazioni delle due rette , per determinare i punti di intersezione con gli assi devi risolvere i sistemi

$(0,y_1)\to \left\{\begin{matrix}\mbox{equazione }r_1\\ x=0\end{matrix}$

$(x_1,0)\to \left\{\begin{matrix}\mbox{equazione }r_1\\ y=0\end{matrix}$

$(0,y_2)\to \left\{\begin{matrix}\mbox{equazione }r_2\\ x=0\end{matrix}$

$(x_2,0)\to \left\{\begin{matrix}\mbox{equazione }r_2\\ y=0\end{matrix}$

Namasté!

Risposta di Omega