Soluzioni
  • Ciao Brizio92 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Per poter utilizzare il teorema, è necessario dimostrare la convergenza uniforme della successione di funzioni che interviene nell'integrale:

    f_n(x)= \frac{e^{-nx}}{n^2+x^2}\qquad x\in [0, 1]

    sono funzioni continue al variare di n nel compatto [0, 1]

    vediamo qual è il limite puntuale della successione in [0, 1]

    Fissato x in [0, 1] si ha che:

    \lim_{n\to +\infty}f_n(x)= \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{e^{n x}(n^2+x^2)}=0

    La successione di funzioni converge puntualmente a 0 in [0, 1],

    f(x)=0\quad \forall x\in[0, 1]

    Inoltre:

    \sup_{[0,1]}|f_n(x)-f(x)|= \sup_{[0, 1]}\left|\frac{1}{e^{nx}(n^2+x^2)}\right|=\frac{1}{n^2}\longrightarrow 0

    Abbiamo quindi assicurata la convergenza uniforme.

    Per il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale si ha quindi che:

    \lim_{n\to +\infty}\int_0^1f_n(x)dx= \int_0^1 \lim_{n\to +\infty}f_n(x)dx=

    =\int_0^1 f(x)dx= 0

    Il limite quindi vale 0 :)

    Risposta di Ifrit
  • La mai vita sarebbe molto più semplice se avessi uno di voi al posto della mia professoressa di analisi :D Grazie mille, chiarissimo come sempre!

    Risposta di Brizio92
 
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