Soluzioni
  • Per calcolare il limite

    \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{x}(3-\cos(x))}

    è sufficiente osservare che, nonostante il

    \lim_{x\to -\infty}\cos(x)

    sia un limite che non esiste, la funzione coseno assume tutti i valori appartenenti a [-1,+1] quindi 3-\cos(x) è un termine limitato e a valori certamente positivi. Dalla disuguaglianza notevole

    -1\le \cos(x)\le 1

    infatti segue che

    -1\le -\cos(x)\le 1

    e sommando i tre membri per 3 otteniamo

    2\le 3-\cos(x)\le 3

    Passiamo ai reciproci cambiando i versi della doppia disuguaglianza

    \frac{1}{3}\le \frac{1}{3-\cos(x)}\le \frac{1}{2}

    Poiché x\to -\infty possiamo imporre che x sia negativa, di conseguenza anche \sqrt[3]{x} è negativo. Dividendo i membri della doppia disuguaglianza per \sqrt[3]{x} e cambiando i versi otteniamo infine

    \frac{1}{2\sqrt[3]{x}}\le \frac{1}{\sqrt[3]{x}(3-\cos(x))}\le \frac{1}{3\sqrt[3]{x}}

    In forza dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi i termini al primo e al terzo membro tendono a 0 quando x\to -\infty

    \\ \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{2\sqrt[3]{x}}=\left[\frac{1}{-\infty}\right]=0 \\ \\ \\ \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{3\sqrt[3]{x}}=\left[\frac{1}{-\infty}\right]=0

    e invocando il teorema dei carabinieri possiamo concludere che il limite proposto è 0

    \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{x}(3-\cos(x))}=0

    Fatto.

    Risposta di Ifrit
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