Soluzioni
  • Sia p_{n}(x) un polinomio di grado n, si dice che x_0 è una radice dell'equazione

    p_{n}(x)=0

    se e solo se x_0 soddisfa l'equazione. Ciò vuol dire che se valutiamo il polinomio per x=x_0 otteniamo in output 0.

    Dobbiamo dimostrare che l'equazione polinomiale

    x^{21}+21x+7=0

    ha una sola radice nell'intervallo [-1,0]. Per prima cosa dimostriamo l'esistenza sfruttando il teorema degli zeri, di cui dobbiamo verificare le ipotesi.

    Per prima cosa osserviamo che la funzione polinomiale

    f(x)=x^{21}+21x+7

    è continua nell'intervallo chiuso e limitato [-1,0], inoltre la funzione assume agli estremi valori di segno opposto:

    \\ f(-1)=(-1)^{21}+21(-1)+7=-1-21+7=-15 \\ \\ f(0)=0+0+7=7

    Ciò mostra che tutte le ipotesi del teorema di Bolzano (altro nome per il teorema degli zeri) sono soddisfatte, pertanto è assicurata l'esistenza di almeno una radice della equazione, esiste almeno un x_0\in (-1, 0) tale che

    f(x_0)=0

    Per dimostrare l'unicità di tale valore, abbiamo bisogno di conoscere la monotonia di f(x). Sottolineiamo infatti che se f(x) è strettamente monotona nell'intervallo allora è necessariamente iniettiva.

    Calcoliamo la derivata prima di f(x) utilizzando la regola di derivazione della somma:

    \\ f'(x)=\frac{d}{dx}[x^{21}+21x+7]=\frac{d}{dx}[x^{21}]+\frac{d}{dx}[21x]+\frac{d}{dx}[7]= \\ \\ \\ = 21x^{20}+21=21(x^{20}+1)

    La derivata prima è sempre positiva perché nelle parentesi tonde compare una somma di quadrati uno dei quali non nullo, di conseguenza f(x) è monotona strettamente crescente nell'intervallo [-1,0].

    La stretta crescenza di f(x) garantisce l'iniettività che a sua volta assicura l'unicità della soluzione.

    Risposta di Ifrit
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