Soluzioni
  • Dobbiamo calcolare il limite

    \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^{\frac{1}{2\ln(x)+1}}=(\bullet)

    che genera una forma indeterminata [0^{0}]. Per risolverla possiamo ricorrere all'identità derivante dalla definizione di logaritmo

    h(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln(f(x))}\ \ \ \mbox{con} \ h(x)>0

    con cui possiamo esprimere il limite come

    (\bullet)=\lim_{x\to+\infty}e^{\frac{1}{2\ln(x)+1}\cdot\ln\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)}=(\bullet\bullet)

    Le proprietà dei logaritmi garantiscono le seguenti uguaglianze

    \ln\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)=\ln(x^{-\frac{1}{4}})=-\frac{1}{4}\ln(x)

    grazie alle quali il limite diventa

    \\ (\bullet\bullet)=\lim_{x\to+\infty}e^{-\frac{\ln(x)}{4(2\ln(x)+1)}}= \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}e^{-\frac{\ln(x)}{8\ln(x)+4}}=

    Osserviamo che quando x\to+\infty l'esponente genera una forma indeterminata \left[\frac{\infty}{\infty}\right] che possiamo sciogliere mediante il confronto tra infiniti: è sufficiente mettere in evidenza l'infinito di ordine superiore

    =\lim_{x\to+\infty}e^{-\frac{\ln(x)}{\ln(x)\left(8+\frac{4}{\ln(x)}\right)}}=

    Semplificando i logaritmi e osservando che il termine \frac{4}{\ln(x)} tende a 0 per x tendente a +infinito possiamo concludere che il limite è e^{-\frac{1}{8}}

    =\lim_{x\to+\infty}e^{-\frac{1}{8+\frac{4}{\ln(x)}}}=e^{-\frac{1}{8}}

    Osservazione: in accordo con la definizione di potenza con esponente negativo e con la definizione di potenza con esponente fratto possiamo esprimere il risultato in modo differente

    e^{-\frac{1}{8}}=\frac{1}{e^{\frac{1}{8}}}=\frac{1}{\sqrt[8]{e}}

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
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