Correzione di un limite con radicali

Salve a tutti, volevo chiedervi se potete correggermi un limite con i radicali:

lim per x->+oo di [radice quadrata di(x + radice di x)] - [radice quadrata di(x - radice di x)].

All'inizio razionalizzo cioè moltiplico e divido per

[radice quadrata di(x + radice di x)]+[radice quadrata di(x-radice di x)].

In questo modo al numeratore ottengo (x + radice di x)-(x - radice di x) e quindi ottengo 2radice di x. Al denominatore ottengo invece la somma degli addendi che ho utilizzato per la razionalizzazione.

Raccogliendo i termini all'interno della radice noto che al tendere di x a +oo alcuni fattori tendono a 0. Quindi al denominatore mi resta 2 radice di x. il denominatore è uguale al numeratore e quindi il risultato è 1.

Volevo sapere se ho operato bene oppure ho sbagliato qualcosa.