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  • Ciao Danilo arrivo :D

    Risposta di Ifrit
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    In questa discussione

    https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/5457-somma-della-serie.html 

    Abbiamo visto che:

    \sum_{n=1}^{+\infty}n z^{n-1}=\frac{1}{(1-z)^2}

    Deriviamo ulteriormente:

    \sum_{n=1}^{\infty}n(n-1)z^{n-2}=\frac{2}{(1-z)^3}\quad |z|<1

    Ora

    n(n-1)z^{n-2}= n^2 z^{n-2}-n z^{n-2}

    La serie si riscrive come:

     

    \sum_{n=1}^{\infty}n^{2}z^{n-2}-\sum_{n=1}^{\infty}nz^{n-2}=\frac{2}{(1-z)^3}\quad |z|<1

     

    Ora nota che

    \sum_{n=1}^{\infty}nz^{n-2}=\sum_{n=1}^{\infty}n \frac{z^{n-1}}{z}=

    \frac{1}{z}\overbrace{\sum_{n=1}^{\infty}n z^{n-1}}^{=\frac{1}{(1-z)^2} }= \frac{1}{z(1-z)^2}

    Quindi:

    \sum_{n=1}^{\infty}n^{2}z^{n-2}=\overbrace{\sum_{n=1}^{\infty}nz^{n-2}}^{= \frac{1}{z(1-z)^2}}+\frac{2}{(1-z)^3}\quad |z|<1

     

    \sum_{n=1}^{\infty}n^{2}z^{n-2}= \frac{1}{z(1-z)^2}+\frac{2}{(1-z)^3}=

     

    =\frac{1+z}{z(1-z)^3}

    Tieni a mente questa espressione.

     

    Torniamo ora alla nostra serie:

    \sum_{n=1}^{+\infty}n^2(e-1)e^{-n}

    Come prima osserva che (e-1) non dipende dall'indice di sommatoria, quindi possiamo portarlo fuori da tale simbolo:

    (e-1)\sum_{n=1}^{+\infty}n^2e^{-n}

    Poniamo z= e^{-1}

    La serie si riscrive come:

    (e-1)\sum_{n=1}^{+\infty}n^2z^{n}

    Ci manca un -2 all'esponente di zeta, per farlo apparire moltiplichiamo e dividiamo per z^2

    z^2(e-1)\sum_{n=1}^{+\infty}n^2z^{n-2}=

    Ci siamo ricondotti alla serie precedente di cui conosciamo la somma:

    z^2 (e-1)\cdot \frac{1+z}{z(1-z)^3}

    Ricordando che:

    z= e^{-1}

    z^2 (e-1)\cdot \frac{1+z}{z(1-z)^3}= \frac{e^{-2}(e-1)(1+e^{-1})}{e^{-1}(1-e^{-1})^3}

    Semplificando otterrai:

    \frac{e(1+e)}{(1-e)^2}

    Sono certo di questo risultato, non è che quel quadrato è un Typo?

    Risposta di Ifrit
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