Soluzioni
  • Ciao Marco, benvenuto in YM! Arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per risolvere il problema proposto si può procedere in svariati modi (ad esempio il metodo dei moltiplicatori di Lagrange), ma vediamo un po' come fare seguendo il metodo richiesto dal tuo Prof..

    Se effettuiamo un cambiamento di coordinate e passiamo ad un riferimento di coordinate ellittiche

    \left\{\begin{matrix}x=x_0+ar\cos{(\theta)}\\ y=y_{0}+br\sin{(\theta)}\end{matrix}

    dove (x_0,y_0) indica il centro dell'ellisse, a,b sono le lunghezze dei semiassi. Nel caso della regione di piano interna all'ellisse

    2x^2+y^2=1

    (frontiera inclusa) abbiamo

    (x_0,y_0)=(0,0)

    a=\frac{1}{\sqrt{2}},b=1

    r\in[0,1]

    \theta\in[0,2\pi]

    Quindi puoi esprimere la funzione in tale sistema di coordinate

    \left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{\sqrt{2}}r\cos{(\theta)}\\ y=r\sin{(\theta)}\end{matrix}

    f(t,\theta)=r^2\sin^2{\theta}+\frac{1}{\sqrt{2}}r^2\sin{\theta}\cos{(\theta)}

    in tale sistema di riferimento l'ellisse si riduce ad un rettangolo.

    Però non sono sicuro che sia questo il metodo richiesto dal tuo professore...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok fin qui ci sono..ma arrivati a questo punto come si procede?

    grazie

     

    Risposta di 0-9marcoo
  • Da qui in poi procederei nel modo canonico: gradiente, punti stazionari, hessiana, natura dei punti critici ed infine confronterei le coordinate dei punti critici con il vincolo espresso dalle limitazioni nel nuovo sistema di coordinate, ben più semplici di quello iniziale.

    E' però questo il motivo per cui ho scritto 

    "Però non sono sicuro che sia questo il metodo richiesto dal tuo professore..."

    Nel senso che non credo di aver inteso il metodo che ti ha espressamente richiesto di seguire. Detto così

    "Il fatto è che quando vado a calcolare F(cos(p),sin(p)) il prof. non vuole che faccia la derivata ma che la trasformi nella seguente equazione:

    Acos(2p) + Bsin(2p) + C= 0     dove il MAX = C + (A+ B2)1/2

                                                            MIN = C - (A2 + B2)1/2"

    è un po' criptico. Cosa indichi con 

    F(\cos{(p)},\sin{(p)})

    ? Forse l'espressione analitica della funzione espressa nel nuovo sistema di coordinate (necessariamente coordinate ellittiche)? Se descrivi il metodo più precisamente, posso cercare di darti una mano.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • con F(cos(p),sin(p)) si indica l'espressione analitica espressa nel nuovo sistema di coordnate,necessariamente coordinate ellittche.

    Grazie tante. Sei un grande!

     

     

    Risposta di 0-9marcoo
  • Ti ringrazio Laughing però ancora non ho capito quale sia il metodo che il tuo professore ti impone di seguire.

    Lo studio dei punti estremanti della funzione che proponi, soggetta la vincolo dell'ellisse, si può condurre in almeno tre modi diversi. Lo scopo è forse tradurre l'espressione analitica della funzione in forma di luogo di zeri?

    Namasté!

    Risposta di Omega
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