Soluzioni
  • Ciao Danilo arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Questa sembrerebbe tosta, ma non lo è:

    Iniziamo ricordando che:

    \sum_{n=0}^{\infty}z^n= \frac{1}{1-z}\qquad |z|<1

     

    E' la serie geometrica. Per il teorema di derivazione delle serie di potenze si ha che:

    D\left[\sum_{n=0}^{\infty}z^n\right]= \sum_{n=0}^{\infty}D[z^n]=

     

    =\sum_{n=0}nz^{n-1}= \sum_{n=1}^{+\infty}nz^{n-1}= D\left[\frac{1}{1-z}\right]=

    = \frac{1}{(1-z)^2}\qquad |z|<1

    Quindi:

    \sum_{n=1}^{+\infty}n z^{n-1}= \frac{1}{(1-z)^2}\qquad |z|<1\quad (1.1)

     

    Detto questo consideriamo la nostra serie:

    \sum_{n=1}^{\infty}n(e-1)e^{-n}

    Per prima cosa osserva che e-1 non dipende dall'indice di sommatoria, quindi possiamo portare questo fattore fuori da tale simbolo:

     

    (e-1)\sum_{n=1}^{\infty}ne^{-n}

    Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere:

    e^{-n}= \left(\frac{1}{e}\right)^n

    La serie si riscrive quindi come:

    (e-1)\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{1}{e}\right)^n

     

    Ci siamo quasi, poniamo 

     

    z= \frac{1}{e}

    ovviamente 

    |z|<1

    La serie diventa:

    (e-1)\sum_{n=1}^{\infty}n z^n

    L'unica cosa che differisce con la serie (1.1) è l'esponente di z, a questo punto moltiplichiamo e dividiamo per z:

    z(e-1)\sum_{n=1}^{\infty}n \frac{z^n}{z}

    z(e-1)\overbrace{\sum_{n=1}^{\infty}n z^{n-1}}^{= \frac{1}{(1-z)^2}}

    Da questo segue che:

    = \frac{z(e-1)}{(1-z)^2}

    Ora ricordando che z= 1/e abbiamo:

    \frac{z(e-1)}{(1-z)^2}=\frac{\frac{e-1}{e}}{\left(1-\frac{1}{e}\right)^2}

    Semplificando in modo opportuno otterrai:

    \frac{e}{e-1}

     

    Se hai domande sono qui :)

    Risposta di Ifrit
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