Calcolo del rango di una matrice con parametro k

Ciao! Stavo cercando di calcolare in funzione del parametro k il rango della matrice che propone il libro:


k+30      k+45     15    k+10     5

k-5      2k-10    k-5     0     0

-2-k   -5-k     -3   -3     4-k 


Il libro considera le ultime tre colonne e trova un rango che vale (t-5)^2 (t+11). Sto provando ma non mi viene lo stesso risultato! Potete aiutarmi a capire come il libro abbia fatto?


In termini di procedimento invece, come faccio a trovare le basi di Wt una volta scelto un valore di k? Vi ringrazio anticipatamente! :)

In Uni - Algebra Lineare - Domanda di Noel

Soluzioni

  • Ciao Noel, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Essendo la matrice

    A=\left[\begin{matrix}k+30& k+45& 15& k+10& 5\\ k-5& 2k-10 & k-5 & 0&0\\ -2-k& -5-k& -3&-3& 4-k\end{matrix}\right]

    una matrice 5x3 il suo rango non può essere superiore a 3, e il libro considera il minore dato dalle ultime tre colonne

    M=\left[\begin{matrix}15& k+10& 5\\ k-5 & 0&0\\ -3&-3& 4-k\end{matrix}\right]

    Per calcolarne il determinante si può procedere con la regola di Sarrus, di cui parliamo in questo articolo

    https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/equazioni/170-metodi-di-risoluzione-per-sistemi-lineari-4-cramer.html

    Gli elementi nulli semplificano di molto il calcolo:

    det(M)=5(-3)(k-5)-(k+10)(k-5)(4-k)

    Raccogliendo il binomio (k-5) e facendo dei semplici conti, arriviamo a

    det(M)=(k-5)[k^2+6k-55]

    Possiamo scomporre il trinomio con la regola di scomposizione somma/prodotto

    det(M)=(k-5)(k-5)(k+11)=(k-5)^2(k+11)

    A questo punto sappiamo che se k\neq 5,k\neq -11 la matrice A ha rango 3. Per tali valori di k, invece, possiamo considerare le due corrispondenti matrici e studiarne il rango a parte (il che non dovrebbe essere complicato).

    Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere Wink

    Namasté!

     

    Risposta di Omega
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