Soluzioni
  • Ciao Noel, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • grazie millee

    Risposta di Noel
  • opsss, la matrice che ho non è quella COMPLETA, MA QUELLA INCOMPLETA...

    Risposta di Noel
  • Per studiare la compatibilità del sistema lineare che proponi, si considerano la matrice incompleta del sistema lineare

    A=\left[\begin{matrix}4&3&4&2\\ 8&2k&5+k&4\\ 4&9-2k&7-k&5+k\end{matrix}\right]

    e la matrice completa, ottenuta accostando alla matrice incompleta il vettore dei termini noti

    A|b=\left[\begin{matrix}4&3&4&2& 5\\ 8&2k&5+k&4&11+k\\ 4&9-2k&7-k&5+k&10k\end{matrix}\right]

    Si tratta dunque di applicare il teorema di Rouché-Capelli, il quale prevede di calcolare il rango della matrice completa e della matrice incompleta e di confrontarli.

    Il rango di una matrice si può calcolare come ordine del più grande minore invertibile della matrice, quindi entrambe le matrici avranno al più rango 3. Dato che entrambe le matrici dipendono dal parametro k, anche i rispettivi ranghi dipenderanno da k: si tratta quindi di considerare i vari minori delle due matrici e considerare i valori di k che non li annullano (nel qual caso il minore considerato è invertibile e il rango della matrice è proprio la dimensione del minore) e quelli che non li annullano (nel qual caso si passa ad un altro minore).

    Fatto ciò non resta che applicare l'asserto di R-C:

    - se il rango della matrice completa è maggiore del rango della matrice incompleta, il sistema è impossibile (non ci sono soluzioni)

    - se il rango della matrice completa coincide con il rango della matrice incompleta, il sistema è compatibile e in particolare, detto n (qui n=4) il numero di incognite del sistema, lo spazio delle soluzioni ha dimensione n-Rk(A).

    Ci sono diversi conti da fare, ma il procedimento è abbastanza meccanico. Per i determinanti dei minori di ordine 3 usa pure la regola di Sarrus Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • grazie omega....una cosa: se il rango della matrice incompleta è 3, non è detto che il rango della matrice incompleta sia sempre 3 giusto?

    Risposta di Noel
  • Di niente Wink

    Aspetta: credo tu intenda

    "una cosa: se il rango della matrice completa è 3, non è detto che il rango della matrice incompleta sia sempre 3 giusto?"

    La risposta è: dipende sulla base di quale minore hai stabilito che il rango è 3. Se il minore appartiene ad entrambe le matrici, allora entrambe le matrici hanno rango 3. Ma se il minore che determina un rango pari a 3 per la matrice completa comprende il vettore dei termini noti, allora non è detto, bisogna studiare i minori comuni ad entrambe le matrici.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • grazie per la correzione...si era proprio quello che pensavo. grazie ancora:)

    Risposta di Noel
  • Figurati. Per qualsiasi dubbio: siamo qui Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • omega scusa se disturbo ancora :P, io ho trovato che il rango della matrice incompleta vale 3.

    ora ho analizzato la matrice incompleta ed ho ottenuto tramite E.G la seguente matrice

     

    4    3   4   2   5

    0   2k-6    k-3    0    1+k

    0     0       0    k+3   6+2k 

     

    esattamente come viene al libro. Poi il libro scrive che per k diverso da -3 e 3 la matrice incompleta associata al sistema ha rango 3.

     

    Perchè diverso da 3....non dovrebbe essere solo per k diverso da -3?

     

     

     

    Risposta di Noel
  • Nessun disturbo, figurati :)

    Se prendi k=-3, la terza riga della matrice INCOMPLETA ridotta diventa identicamente nulla. Il rango della matrice incompleta è quindi in tal caso 2.

    Se invece prendi k=3, è la seconda riga ad annullarsi, quindi anche in tal caso la matrice incompleta ha rango 2.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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