Soluzioni
  • Poiché la circonferenza (click per le formule) passa per l'origine degli assi essa si presenterà nella forma:

    Γ: x^2+y^2+ax+by = 0

    Non ha quindi termine noto.

    Imponiamo il passaggio per il punto:

    A(2,0)

    otterremo:

    4+2a = 0 ⇒ a = -2

    L'equazione si riduce ulteriormente a:

    x^2+y^2-2x+by = 0

    Ci manca da determinare il parametro b e per farlo impostiamo il sistema tra la retta data dal problema e l'equazione della circonferenza:

    x^2+y^2-2x+by = 0 ; 2x-y = 0

    Dalla seconda equazione otteniamo:

    y = 2x

    Sostituiamo nella prima ottenendo la risolvente:

    x^2+(2x)^2-2x+b(2x) = 0 ⇔ 5x^2+2(b-1)x = 0

    Il discriminante associato all'equazione di secondo grado è:

    Δ = [2(b-1)]^2 = 4(b-1)^2

    Imponiamo la condizione di tangenza:

    Δ = 0 ⇔ 4(b-1)^2 = 0 ⇔ b-1 = 0 ⇔ b = 1

    Abbiamo determinato l'ultimo parametro che definisce l'equazione della circonferenza che è:

    x^2+y^2-2x+y = 0

    Calcoliamo ora il centro della circonferenza:

    C(-(a)/(2),-(b)/(2)) = (1,-(1)/(2))

    La parabola con vertice in C ha equazione:

    y-y_C = m(x-x_C)^2

    Sostituiamo i numeri ottenuti:

    y+(1)/(2) = m(x-1)^2

    ci manca da determinare m  e per farlo impongo la condizione di appartenenza del punto O(0,0)

    (1)/(2) = m ⇒ m = (1)/(2)

    L'equazione della parabola è quindi:

    y+(1)/(2) = (1)/(2)(x-1)^2

    Da cui

    y = (1)/(2)(x^2-2x+1)-(1)/(2) =

    y = (x^2-2x+1-1)/(2) ⇔ y = (x^2-2x)/(2)

    O se vuoi:

    y = (x^2)/(2)-x

    Se hai domande sono qui :)

    Risposta di Ifrit
 
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