Soluzioni
  • Poiché la circonferenza (click per le formule) passa per l'origine degli assi essa si presenterà nella forma:

    \Gamma: x^2+y^2+ax+by=0

    Non ha quindi termine noto.

    Imponiamo il passaggio per il punto:

    A(2,0)

    otterremo:

    4+2a=0\implies a= -2

    L'equazione si riduce ulteriormente a:

    x^2+y^2-2x+by=0

    Ci manca da determinare il parametro b e per farlo impostiamo il sistema tra la retta data dal problema e l'equazione della circonferenza:

    \begin{cases}x^2+y^2-2x+by=0\\ 2x-y=0\end{cases}

    Dalla seconda equazione otteniamo:

    y= 2x

    Sostituiamo nella prima ottenendo la risolvente:

    x^2+(2x)^2-2x+b(2x)=0\iff 5x^2+2(b-1)x=0

    Il discriminante associato all'equazione di secondo grado è:

    \Delta= [2(b-1)]^2= 4(b-1)^2

    Imponiamo la condizione di tangenza:

    \Delta=0\iff 4(b-1)^2=0\iff b-1=0\iff b=1

    Abbiamo determinato l'ultimo parametro che definisce l'equazione della circonferenza che è:

    x^2+y^2-2x+y=0

    Calcoliamo ora il centro della circonferenza:

    C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)= \left(1, -\frac{1}{2}\right)

    La parabola con vertice in C ha equazione:

    y-y_C=m(x-x_C)^2

    Sostituiamo i numeri ottenuti:

    y+\frac{1}{2}=m\left(x-1\right)^2

    ci manca da determinare m  e per farlo impongo la condizione di appartenenza del punto O(0,0)

    \frac{1}{2}= m\implies m= \frac{1}{2}

    L'equazione della parabola è quindi:

    y+\frac{1}{2}= \frac{1}{2}(x-1)^2

    Da cui

    y= \frac{1}{2}(x^2-2x+1)-\frac{1}{2}=

    y= \frac{x^2-2x+1-1}{2}\iff y=\frac{x^2-2x}{2}

    O se vuoi:

    y= \frac{x^2}{2}-x

    Se hai domande sono qui :)

    Risposta di Ifrit
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