Esercizio sulle equazioni della circonferenza e della parabola

Question

Ho un problema riguardante una circonferenza e una parabola, mi dite come risolverlo per cortesia? Scritta l'equazione della circonferenza tangente in O alla retta t: 2x-y = 0 e passante per A(2;0), determinare l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y, con vertice nel centro C della circonferenza e passante per l'origine O. Grazie mille!!!

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Poiché la circonferenza (click per le formule) passa per l'origine degli assi essa si presenterà nella forma: Γ: x^2+y^2+ax+by = 0 Non ha quindi termine noto. Imponiamo il passaggio per il punto: A(2,0) otterremo: 4+2a = 0 ⇒ a = -2 L'equazione si riduce ulteriormente a: x^2+y^2-2x+by = 0 Ci manca da determinare il parametro b e per farlo impostiamo il sistema tra la retta data dal problema e l'equazione della circonferenza: x^2+y^2-2x+by = 0 ; 2x-y = 0 Dalla seconda equazione otteniamo: y = 2x Sostituiamo nella prima ottenendo la risolvente: x^2+(2x)^2-2x+b(2x) = 0 ⇔ 5x^2+2(b-1)x = 0 Il discriminante associato all'equazione di secondo grado è: Δ = [2(b-1)]^2 = 4(b-1)^2 Imponiamo la condizione di tangenza: Δ = 0 ⇔ 4(b-1)^2 = 0 ⇔ b-1 = 0 ⇔ b = 1 Abbiamo determinato l'ultimo parametro che definisce l'equazione della circonferenza che è: x^2+y^2-2x+y = 0 Calcoliamo ora il centro della circonferenza: C(-(a)/(2),-(b)/(2)) = (1,-(1)/(2)) La parabola con vertice in C ha equazione: y-y_C = m(x-x_C)^2 Sostituiamo i numeri ottenuti: y+(1)/(2) = m(x-1)^2 ci manca da determinare m e per farlo impongo la condizione di appartenenza del punto O(0,0) (1)/(2) = m ⇒ m = (1)/(2) L'equazione della parabola è quindi: y+(1)/(2) = (1)/(2)(x-1)^2 Da cui y = (1)/(2)(x^2-2x+1)-(1)/(2) = y = (x^2-2x+1-1)/(2) ⇔ y = (x^2-2x)/(2) O se vuoi: y = (x^2)/(2)-x Se hai domande sono qui :)