Dominio di una funzione logaritmica con modulo

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Ho un problema sul calcolo del dominio di una funzione logaritmica nell'argomento della quale compare un valore assoluto. Ho tentato di imporre la condizione di esistenza de logaritmo, ottenendo una disequazione con il modulo che non so come risolvere. Potreste aiutarmi?

 

Determinare il dominio della funzione logaritmica

 

f(x)=\ln(x-|x-8|)

Domanda di Federica90

 
Soluzioni

  • Per calcolare il dominio della funzione

    f(x)=\ln(x-|x-8|)

    è sufficiente imporre la condizione di esistenza del logaritmo, il quale richiede che il proprio argomento risulti positivo. In altri termini dobbiamo impostare la disequazione con il valore assoluto:

    x-|x-8|>0

    Per prima cosa studiamo il segno dell'argomento del modulo, risolvendo la disequazione di primo grado

    x-8\ge 0 \ \to \ x\ge 8

    In base alla definizione, possiamo esplicitare il modulo in base al segno dell'argomento: se l'argomento è positivo o nullo, il valore assoluto sparisce senza lasciar traccia, mentre se l'argomento è negativo, eliminiamo il modulo a patto di cambiare i segni dell'argomento stesso

    |x-8|=\begin{cases}x-8&\mbox{se}\ x\ge 8 \\ \\ 8-x&\mbox{se}\ x<8\end{cases}

    Ora siamo in grado di esprimere la disequazione di partenza come unione dei seguenti sistemi di disequazioni:

    \begin{cases}x-(x-8)>0 \\ \\ x\ge 8\end{cases} \ \cup \ \begin{cases}x-(8-x)>0 \\ \\ x<8\end{cases}

    Analizziamo il primo

    \begin{cases}x-(x-8)>0 \\ \\ x\ge 8\end{cases} \ \to \ \begin{cases}8>0 \\ \\ x\ge 8\end{cases}

    La disequazione 8>0 è sempre vera, indipendentemente dal valore assunto da x, conseguentemente le soluzioni del sistema sono dettate dalla relazione

    x\ge 8

    Per quanto concerne il secondo sistema, possiamo esprimerlo nella forma equivalente come

    \begin{cases}2x-8>0 \\ \\ x<8\end{cases}\ \to \ \begin{cases}x>4 \\ \\ x<8\end{cases}

    Intersecando le due relazioni deduciamo che l'insieme soluzione è dato da

    4<x<8

    Non ci resta che unire le soluzioni parziali dei due sistemi per concludere che il dominio della funzione è

    Dom(f)=(4,+\infty)

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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