Soluzioni
  • Per calcolare il dominio della funzione

    f(x)=\ln(x-|x-8|)

    è sufficiente imporre la condizione di esistenza del logaritmo, il quale richiede che il proprio argomento risulti positivo. In altri termini dobbiamo impostare la disequazione con il valore assoluto:

    x-|x-8|>0

    Per prima cosa studiamo il segno dell'argomento del modulo, risolvendo la disequazione di primo grado

    x-8\ge 0 \ \to \ x\ge 8

    In base alla definizione, possiamo esplicitare il modulo in base al segno dell'argomento: se l'argomento è positivo o nullo, il valore assoluto sparisce senza lasciar traccia, mentre se l'argomento è negativo, eliminiamo il modulo a patto di cambiare i segni dell'argomento stesso

    |x-8|=\begin{cases}x-8&\mbox{se}\ x\ge 8 \\ \\ 8-x&\mbox{se}\ x<8\end{cases}

    Ora siamo in grado di esprimere la disequazione di partenza come unione dei seguenti sistemi di disequazioni:

    \begin{cases}x-(x-8)>0 \\ \\ x\ge 8\end{cases} \ \cup \ \begin{cases}x-(8-x)>0 \\ \\ x<8\end{cases}

    Analizziamo il primo

    \begin{cases}x-(x-8)>0 \\ \\ x\ge 8\end{cases} \ \to \ \begin{cases}8>0 \\ \\ x\ge 8\end{cases}

    La disequazione 8>0 è sempre vera, indipendentemente dal valore assunto da x, conseguentemente le soluzioni del sistema sono dettate dalla relazione

    x\ge 8

    Per quanto concerne il secondo sistema, possiamo esprimerlo nella forma equivalente come

    \begin{cases}2x-8>0 \\ \\ x<8\end{cases}\ \to \ \begin{cases}x>4 \\ \\ x<8\end{cases}

    Intersecando le due relazioni deduciamo che l'insieme soluzione è dato da

    4<x<8

    Non ci resta che unire le soluzioni parziali dei due sistemi per concludere che il dominio della funzione è

    Dom(f)=(4,+\infty)

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
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