Soluzioni
  • Premetto che qui su YM c'è un formulario di riferimento con tutte le formule della parabola, che ti invito a leggere. :)

    Vediamo come risolvere il problema proposto.

    Scriviamo la generica equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y

    y=ax^2+bx+c

    Noi conosciamo le coordinate del vertice V=(2,-1) e l'equazione della retta direttrice y=3: dalle formule per le coordinate del vertice della parabola

    \\ x_V=-\frac{b}{2a}\\ \\ \\ y_V=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}

    Ricaviamo due condizioni (cioè due equazioni)

    \\ -\frac{b}{2a}=2\\ \\ \\ -\frac{b^2-4ac}{4a}=-1

    Dalla formula per l'equazione della direttrice della parabola

    y=-\frac{1+\Delta}{4a}=-\frac{1+b^2-4ac}{4a}

    Ricaviamo la terza condizione

    -\frac{1+b^2-4ac}{4a}=3

    Cosicché abbiamo tre equazioni per tre incognite, dove le incognite sono i coefficienti a,b,c dell'equazione della parabola. Mettiamo tutto a sistema

    \begin{cases}-\frac{b}{2a}=2\\ -\frac{b^2-4ac}{4a}=-1\\ -\frac{1+b^2-4ac}{4a}=3\end{cases}

    Risolvendo il sistema si trovano i valori dei coefficienti che individuano la parabola cercata.

    Per procedere nella risoluzione ci conviene usare il metodo di sostituzione: è il metodo che si impara quando si studiano i sistemi lineari, e che può essere usato anche per risolvere i sistemi non lineari.

    Dalla prima equazione ricaviamo

    b=-4a

    e sostituiamo tale espressione dell'incognita b nella seconda e nella terza equazione

    \begin{cases}b=-4a\\ -\frac{(-4a)^2-4ac}{4a}=-1\\ -\frac{1+(-4a)^2-4ac}{4a}=3\end{cases}

    Facciamo i conti

    \begin{cases}b=-4a\\ -\frac{16a^2-4ac}{4a}=-1\\ -\frac{1+16a^2-4ac}{4a}=3\end{cases}

    da cui

    \begin{cases}b=-4a\\ 16a^2-4ac=4a\\ 1+16a^2-4ac=-12a\end{cases}

    Qui ci conviene ricavare un'espressione per -4ac dalla seconda equazione e sostituirla nella terza, perché tale termine è ripetuto:

    \begin{cases}b=-4a\\ 4ac=16a^2-4a\\ \to\ 1+16a^2-(16a^2-4a)=-12a\end{cases}

    Concentriamoci sulla terza equazione e facciamo i calcoli

    1+16a^2-16a^2+4a=-12a

    da cui

    16a=-1\ \to\ a=-\frac{1}{16}

    Sostituendo tale valore per l'incognita a nelle altre due equazioni, ricaviamo

    \\ b=-4\cdot \left(-\frac{1}{16}\right)=\frac{1}{4}\\ \\ \\ 4\cdot \left(-\frac{1}{16}\right)\cdot c=16\cdot \left(-\frac{1}{16}\right)^2-4\cdot\left(-\frac{1}{16}\right)\ \to\ -\frac{c}{4}=\frac{1}{16}+\frac{1}{4}\ \to\ c=-\frac{5}{4}

    e abbiamo finito. L'equazione della parabola richiesta è data da

    y=-\frac{x^2}{16}+\frac{x}{4}-\frac{5}{4}

    Controllando il risultato con il tool per risolvere la parabola online, vedrai che tutto torna. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie mille, finalmente ho capito!... :)

    Risposta di Vanessa1401
 
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