Equazione della parabola con vertice e direttrice

Premetto che qui su YM c'è un formulario di riferimento con tutte le formule della parabola, che ti invito a leggere. :)

Vediamo come risolvere il problema proposto.

Scriviamo la generica equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y

Noi conosciamo le coordinate del vertice e l'equazione della retta direttrice : dalle formule per le coordinate del vertice della parabola

Ricaviamo due condizioni (cioè due equazioni)

Dalla formula per l'equazione della direttrice della parabola

Ricaviamo la terza condizione

Cosicché abbiamo tre equazioni per tre incognite, dove le incognite sono i coefficienti dell'equazione della parabola. Mettiamo tutto a sistema

Risolvendo il sistema si trovano i valori dei coefficienti che individuano la parabola cercata.

Per procedere nella risoluzione ci conviene usare il metodo di sostituzione: è il metodo che si impara quando si studiano i sistemi lineari, e che può essere usato anche per risolvere i sistemi non lineari.

Dalla prima equazione ricaviamo

e sostituiamo tale espressione dell'incognita nella seconda e nella terza equazione

Facciamo i conti

da cui

Qui ci conviene ricavare un'espressione per dalla seconda equazione e sostituirla nella terza, perché tale termine è ripetuto:

Concentriamoci sulla terza equazione e facciamo i calcoli

da cui

Sostituendo tale valore per l'incognita nelle altre due equazioni, ricaviamo

e abbiamo finito. L'equazione della parabola richiesta è data da

Controllando il risultato con il tool per risolvere la parabola online, vedrai che tutto torna. ;)

Namasté!