Problema su un fascio di parabole e di circonferenze

Question

Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere questo problema sui fasci di parabole e di circonferenze. Data l'equazione kx^2+(4-k)y^2+(2-5k)x+(6k-8)y = 0 a) determinare k in modo che essa rapprestenti una circonferenza C, di cui C sia il centro e t la retta tangente nell'origine O degli assi; b) determinare k in modo che essa rappresenti una parabola C con asse parallelo all'asse x. c) determinare l'equazione della parabola P1 con asse parallelo all'asse y, tangente nell'origine a t e passante per H(-4,0), e indicarne con V il vertice; d) determinare una parallela all'asse x in modo che la corda AB che su di essa stacca P1 sia in rapporto radice di 6 con la corda EF che su di essa stacca C; e) determinare le tangenti a P1 nei suoi punti di ordinata 6 e il loro punto d'intersezione; f) sulla retta t determinare i punti P che formano con V e C triangoli di area uguale a 2 I punti a, b e c li ho già risolti, non riesco a capire il punto d, soprattutto cosa voglia dire su di essa stacca. I risultati sono: a) k = 2; t = y = 2x ; b) k = 0 ; c) y = (1)/(2)x^2+2x ; d) y = 1 ; e) y = 4x-18 (-(2)/(7);-(4)/(7)) ; f) P_1(-(10)/(7);-(20)/(7)) , P(-(2)/(7);-(4)/(7)) Grazie mille per l'aiuto

Redazione di YouMath · Accepted Answer

In pratica devi calcolare la lunghezza del segmento i cui estremi sono dati dall'intersezione tra la parabola e la retta parallela all'asse delle ascisse, quindi di equazione y = m. Fai la stessa cosa con la circonferenza. y = (1)/(2)x^2+2x ; y = m Da cui otteniamo l'equazione di secondo grado risolvente: (1)/(2)x^2+2x-m = 0 Minimo comune multiplo: (x^2+4x-2m)/(2) = 0 Le soluzioni sono: x_1 = (-4-√(16+8m))/(2) x_2 = (-4+√(16+8m))/(2) Osserva che le soluzioni sono reali se e solo se: 16+8m ≥ 0 ⇔ m ≥ -2 La distanza tra questi due punti è data dalla loro differenza in valore assoluto: AB = |x_1-x_2| = √(16+8m) Facendo allo stesso modo con la circonferenza: 2x^2+2y^2-8x+4y = 0 ; y = m La risolvente in questo caso è: 2x^2+2m^2-8x+4m = 0 Le soluzioni sono: x_1 = 2-√(4-2m-m^2) x_2 = 2+√(4-2m-m^2) e sono reali se e solo se: 4-2m-m^2 ≥ 0 e dunque:-1-√(5) ≤ m ≤ √(5)-1 tenendo in considerazione anche l'altra condizione su m, otteniamo che questo valore deve essere compreso tra:-2 ≤ m ≤ √(5)-1 A questo punto calcoliamo la distanza EF: EF = |x_1-x_2| = 2√(4-2m-m^2) Dai dati dell'esercizio sappiamo che: (AB)/(EF) = √(6) Otteniamo quindi l'equazione: (√(16+8m))/(2√(4-2m-m^2)) = √(6) elevando membro a membro al quadrato: (16+8m)/(4(4-2m-m^2)) = 6 Otterrai due soluzioni: m_1 = -(10)/(3) che non è accettabile, perchè non rispetta la condizione sugli m, e m = 1 che è accettabile.