Soluzioni
  • Per comprendere la differenza che sussiste tra il calcolo di un limite nell'intorno destro o sinistro del punto, è essenziale la lettura di questo altricolo: calcolo dei limiti da sinistra e da destra.

    Consideriamo il limite

    \lim_{x\to 0^{\pm}}\frac{\sin(3x)+\sin(5x)}{1-\cos(8x)}=(\bullet)

    Scrivere x\to 0^{\pm} o scrivere x\to 0 è esattamente la stessa cosa: talvolta è necessario, all'atto pratico, calcolare due limiti distinti, come ad esempio avviene nel semplice caso

    \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}=\lim_{x\to 0^{\pm}}\frac{1}{x}=\pm\infty

    Nel caso del limite proposto, invece, dobbiamo procedere ricorrendo a due limiti notevoli relativi alla funzione seno e alla funzione coseno che si applicano indipendentemente dall'intorno sinistro o destro che si considera.

    In accordo con il limite notevole del seno, possiamo costruire le seguenti stime asintotiche

    \\ \sin(3x)\sim_{x\to 0}3x \\ \\ \sin(5x)\sim_{x\to 0}5x

    Mediante il limite notevole associato al coseno, possiamo costruire invece la relazione asintotica

    1-\cos(8x)\sim_{x\to 0}\frac{1}{2}(8x)^2

    Effettuando le sostituzioni dettate dalle equivalenze determinate, possiamo calcolare il limite equivalente a quello dato

    \\ (\bullet)=\lim_{x\to 0^{\pm}}\frac{3x+5x}{\frac{1}{2}\cdot (8x)^2}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 0^{\pm}}\frac{1}{4x}

    A questo punto dobbiamo necessariamente distinguere a seconda che l'intorno sia sinistro o destro

    \\ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{4x}=+\infty \\ \\ \\ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{4x}=-\infty

    All'atto pratico, dunque, se la convergenza di x\to x_0 produce differenze qualitative nel comportamento della funzione nell'intorno del punto, bisogna passare al calcolo di due distinti limiti.

    Osserviamo infine che poiché il limite destro e il limite sinistro sono distinti, possiamo concludere che il limite bilatero non esiste.

    Risposta di Ifrit
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