Calcolo di un limite con differenza di radici cubiche

Ciao, come si risolve il seguente limite con la differenza di radici cubiche?

 

lim per x->+oo di [radice cubica di(2+x^3)] - [radice cubica di(1+2x^2+x^3)].

 

Io ho provato a razionalizzare ma alla fine mi perdo. Vi ringrazio!

In Uni - Analisi - Domanda di Luigi2110

 
Soluzioni

  • Ciao Luigi, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Essendo il limite

    \lim_{x\to +\infty}{\sqrt[3]{2+x^3}-\sqrt[3]{1+2x^2+x^3}}

    moltiplichiamo e dividiamo per

    \sqrt[3]{(2+x^3)^2}+\sqrt[3]{2+x^3}\sqrt[3]{1+2x^2+x^3}+\sqrt[3]{(1+2x^2+x^3)^2}

    per sfruttare il prodotto notevole

    a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

    In questo modo a numeratore rimane

    2+x^3-1-2x^2-x^3=-2x^2+1

    e limitandoci agll'infinito di ordine principale (più che altro, unico :))

    a denominatore, invece

    \sqrt[3]{(2+x^3)^2}+\sqrt[3]{2+x^3}\sqrt[3]{1+2x^2+x^3}+\sqrt[3]{(1+2x^2+x^3)^2}

    cioè, se ci limitiamo agli infiniti di ordine principale

    \sqrt[3]{(x^3)^2}+\sqrt[3]{x^3}\sqrt[3]{x^3}+\sqrt[3]{(x^3)^2}=3x^2

    e dunque calcolando il rapporto non è difficile vedere che il limite vale

    -\frac{2}{3}

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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