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  • Ciao zioniko arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Prima concentriamoci sul segmento di estremi PQ.

    Sappiamo che:

    Q(0, 4)

    Inoltre sappiamo che il punto medio M è dato dalla intersezione di due rette:

    u: y=x+3

    e

    v: y=-2x+\frac{9}{2}

    Troviamo il punto di incontro di queste due rette:

    \begin{cases}y=x+3\\ y= -2x+\frac{9}{2}\end{cases}

    Per sostituzione otteniamo:

    x+3= -2x+\frac{9}{2}

    portiamo al primo membro i termini con la x, al secondo i termini senza x:

    2x+x=-3+\frac{9}{2}

    3x= \frac{3}{2}\implies x= \frac{1}{2}

    sostituiamo il valore ottenuto in una delle equazioni del sistema:

    y= \frac{1}{2}+3= \frac{7}{2}

    Il punto medio ha coordinate:

    M\left(\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)

    A noi mancano le coordinate del punto P per determinarle procediamo in questo modo:

    Sappiamo che l'ascissa del punto medio è:

    x_M= \frac{x_P+x_Q}{2}

    sostituendo i valori precedentemente determinati, otteniamo l'equazione:

    \frac{1}{2}= \frac{x_P}{2}

    Risolvendo l'equazione in x_P determiniamo l'ascissa del punto P:

    x_P= 1

    Procediamo allo stesso modo per l'ordinata:

    y_M= \frac{y_P+y_Q}{2}

    \frac{7}{2}= \frac{y_P+4}{2}

    Da cui moltiplicando membro a membro per 2:

    y_P+4=7\implies y_P= 3

    Le coordinate del punto P sono:

    P\left(1, 3\right)

    A questo punto scriviamo l'equazione dell'ellisse (click per tutte le formule dell'ellisse):

    E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

    Dobbiamo determinare i parametri a^2 e b^2 e per farlo utilizzeremo la condizione di appartenenza:

    P\in E\iff \frac{1}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1

    Q\in E\iff \frac{0}{a^2}+\frac{4^2}{b^2}=1

    Otteniamo quindi il sistema:

    \begin{cases}\frac{1}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1\\ \frac{16}{b^2}=1\end{cases}

    Dalla seconda equazione otteniamo:

    \frac{16}{b^2}=1\implies \frac{b^2}{16}=1\implies b^2= 16

    Sostituiamo nella prima equazione:

    \begin{cases}\frac{1}{a^2}+\frac{9}{16}=1\\ \frac{16}{b^2}=1\end{cases}

    Lavoriamo solo con la prima equazione:

    \frac{1}{a^2}= 1-\frac{9}{16}\implies \frac{1}{a^2}=\frac{7}{16}

    Da cui passando ai reciproci abbiamo:

    a^2=\frac{16}{7}

    Possiamo concludere che l'equazione della ellisse è:

    \frac{x^2}{\frac{16}{7}}+\frac{y^2}{16}=1

    Che può essere riscritta come:

    \frac{7x^2}{16}+\frac{y^2}{16}=1

    Risposta di Ifrit
 
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