Particolare limite con logaritmo ed esponenziale
Non riesco a svolgere un limite per x che tende a infinito di una funzione fratta con un'esponenziale e un logaritmo. Il limite sarebbe questo
Potreste aiutarmi, per favore? Grazie.
Soluzioni
Il limite
si presenta nella forma indeterminata
![[(∞)/(∞)]](data:image/gif;base64,R0lGODlhJAAiAOMAAP///wAAABYWFgwMDLa2tgQEBJ6enlBQUDAwMEBAQGJiYubm5nR0dIqKiiIiIszMzCH5BAEAAAAALAAAAAAkACIAAAT7EEgghiUz652ZHUk2cIZQFEdGIMmhcMDjiBuRAoS1AEwoLa+NjKa5/QqDBkLT2GmGk5GGoSEEAs7JoiGcRTdUTSJg/HGfXok0E5wQHIfAWdJ4dIkZg8Ht2I3PNhxQahwNLghlHgUCPndfMFkakY6EMJaXMWkAa5idE4ObnqISoJyjl6WnnqmqmKwTV7Gys7NoeK0wr7iCmqa7Gbq/wL3CvLfFpMTIw8fIwRIlJ2UrLW22jyo3OQM7PVrWn8oZZQtISkyTmc1hbleTW5ShUxtjZQDw15VsVXByGXXxfOnh48cfDnvJMiC5MMGQAkQdBixqJMGDRE2X0v3oFAEAOw==)
che possiamo sciogliere applicando a dovere le proprietà dei logaritmi. Osserviamo infatti che per definizione di logaritmo sussiste l'identità
per cui il limite iniziale si esprime nella forma equivalente
In accordo con le proprietà delle potenze possiamo esprimere il quoziente delle funzioni esponenziali come segue
e ancora grazie alle proprietà dei logaritmi otteniamo quanto segue
L'esponente ha limite
perché 
è un infinito di ordine superiore rispetto a 
, ecco perché il risultato del limite è .
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