Soluzioni
  • Ciao Sally, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • La chiusura dell'intervallo su cui si considera la funzione continua è essenziale per la validità del teorema di Weierstrass. Vediamo un controesempio: consideriamo la semplicissima funzione

    f(x)=x

    sull'intervallo [0,1), che non è né aperto né chiuso. Tale funzione ha in x=0 un minimo assoluto, dato da f(0)=0, ma non ha un massimo assoluto. La funzione è infatti superiormente limitata e f([0,1)) ha estremo superiore

    sup\{f([0,1))\}=1

    ma tale valore non è un massimo assoluto, perché non appartiene all'immagine dell'intervallo mediante f. In parole povere: la funzione cresce indefinitamente nell'intorno sinistro di x=1, ma non raggiunge in alcun punto di un tale intorno il valore 1, che dunque è solo sup ma non massimo.

    Per vedere, invece, che il teorema non vale nel caso si consideri un'unione infinita di chiusi è sufficiente osservare che un'unione infinita di chiusi non è necessariamente un chiuso. 

    Un esempio?

    \bigcup_{x\in (0,1)}{\{x\}}=(0,1)

    dunque data una funzione continua, come ad esempio la precedente (funzione identità) su tale insieme, il teorema di Weierstrass non vale.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie, chiarissimo =)

    Risposta di Sally
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