Massimo e minimo assoluti di una funzione a più variabili

Per risolvere l'esercizio, conviene procedere come descritto qui:

https://www.youmath.it/forum/analisi-2n/15113-calcolo-massimi-e-minimi-in-un-dominio-2-variabili.html

nella fattispecie, dato che il vincolo non è espresso come luogo di zeri bensì mediante disequazioni, puoi studiare i massimi e i minimi liberi della funzione (su tutto il suo dominio, che poi è ) e limitarti a considerare i massimi e i minimi che rientrano nel dominio. Il procedimento è quello standard:

- calcolo del gradiente;

- punti stazionari, cioè punti che annullano il gradiente;

 - calcolo della matrice Hessiana;

- valutazione della matrice Hessiana nei punti stazionari determinati precedentemente;

- natura dei punti stazionari mediante la tabella qui presente (in fondo)

https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/4799-punti-critici-di-una-funzione.html

Tutto questo non basta: bisogna successivamente occuparsi della frontiera del dominio, che però si può facilmente esprimere in forma di luogo do zeri. Hai due diverse possibilità:

1) applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange considerando come vincoli

e

2) Ricavare due distinte parametrizzazioni delle due circonferenze

e

e sostituirle nell'espressione analitica della funzione, riducendoti così ad una funzione di una variabile (in realtà due, ognuna per uno dei due vincoli). Studiando tali funzioni secondo l'usuale metodo per funzioni in una variabile hai modo di determinare i punti estremanti per confrontarli successivamente con gli estremanti liberi di sul suo dominio.

Namasté!