Soluzioni
  • Consideriamo l'equazione parametrica di secondo grado

    kx^2-2(k-2)x+k-7 = 0

    Il nostro compito prevede di determinare il valore da attribuire a k in modo tale che vengano soddisfatte alcune condizioni. Per risolvere l'esercizio, bisogna avvalersi delle relazioni che intercorrono tra i coefficienti del polinomio al primo membro e le sue radici.

    Punto a)

    Affinché le due radici siano uguali, dobbiamo richiedere che il discriminante associato all'equazione sia uguale a zero. Indicati con a, b e c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto, vale a dire:

    a = k , b = -2(k-2) c = k-7

    il discriminante associato si ricava mediante la relazione:

    Δ = b^2-4ac = [-2(k-2)]^2-4k(k-7) = 4(k-2)^2-4k(k-7) =

    Sviluppiamo il quadrato di binomio e calcoliamo il prodotto tra i polinomi:

     = 4(k^2-4k+4)-4k^2+28k = 4k^2-16k+16-4k^2+28k = 16+12k

    Imponiamo la nullità del delta, ricavando in questo modo l'equazione di primo grado avente come soluzione il k richiesto:

    Δ = 0 → 16+12k = 0 → k = -(16)/(12) = -(4)/(3)

    Possiamo affermare che le soluzioni dell'equazione sono uguali se e solo se k = -(4)/(3).

    Punto b)

    Nel secondo punto del problema ci viene chiesto di ricavare i valori da attribuire a k di modo che le soluzioni dell'equazione siano opposte.

    Affinché ciò sia possibile dobbiamo richiedere che:

    - il coefficiente di x^2 sia diverso da zero - condizione necessaria e sufficiente affinché l'equazione data sia di secondo grado;

    - il discriminante sia positivo o nullo, così da garantire la realtà delle due soluzioni;

    - il rapporto -(b)/(a) sia uguale a zero.

    Giustifichiamo meglio la terza condizione: poiché le radici sono opposte (x_(1) = -x_(2)), la loro somma dovrà essere necessariamente uguale a zero (x_1+x_2 = 0). Dalla teoria, sappiamo che la somma delle soluzioni di un'equazione di secondo grado è uguale a -(b)/(a), per cui:

    x_(1)+x_2 = 0 → -(b)/(a) = 0

    Nel caso considerato, il rapporto è

    -(-2(k-2))/(k) = 0 → (2k-4)/(k) = 0 con k ne 0

    Alla luce delle considerazioni precedenti, siamo in grado di impostare le condizioni che consentono di risolvere l'esercizio:

     a ne 0 → k ne 0 ; Δ ≥ 0 → 16+12k ≥ 0 → k ≥ -(4)/(3) ; x_(1)+x_(2) = 0 → (2k-4)/(k) = 0 → k = 2

    Il valore k = 2 soddisfa sia la condizione di realtà (Δ ≥ 0), sia la condizione di non nullità del coefficiente di x^2, (a ne 0),, per cui è un valore accettabile per k.

    Punto c)

    Affinché le soluzioni dell'equazione siano reciproche, occorre richiedere che il loro prodotto sia uguale a 1, cioè: x_(1)·x_(2) = 1. Inoltre bisogna avvalersi della seguente relazione che lega il prodotto delle radici con i coefficienti:

    x_(1)·x_2 = (c)/(a)

    Chiaramente vanno considerate sia la condizione di realtà, Δ ≥ 0, sia la condizione che garantisce la non nullità del coefficiente di x^2, a ne 0.

    Abbiamo già analizzato le due condizioni nella parte precedente, dobbiamo solamente imporre la condizione sul prodotto delle radici:

    x_(1)·x_2 = 1 → (c)/(a) = 1 → c = a

    In termini più espliciti, dobbiamo richiedere che il coefficiente di x^2 sia uguale al termine noto:

    c = a → k-7 = k → -7 = 0

    Abbiamo ottenuto un'equazione impossibile, pertanto possiamo affermare che non esiste alcun valore di k per cui l'equazione abbia soluzioni reciproche.

    Punto d)

    Nel quarto punto ci viene chiesto di ricavare il valore di k affinché l'equazione

    kx^2-2(k-2)x+k-7 = 0

    abbia come soluzione x = √(3). Dal punto di vista operativo, è sufficiente rimpiazzare x con √(3) e risolvere l'equazione di primo grado nell'incognita k:

     k(√(3))^2-2(k-2)·√(3)+k-7 = 0 ; 3k-4√(3)-2√(3)k+k-7 = 0

    Raccogliamo rispetto a k

    (4-2√(3))k-7+4√(3) = 0

    e isoliamo k al primo membro

    (4-2√(3))k = 7-4√(3) → k = (7-4√(3))/(4-2√(3))

    Sebbene non sia strettamente necessario, è possibile migliorare l'estetica del risultato effettuando la razionalizzazione del denominatore: basta moltiplicare e dividere la frazione per 4+2√(3) e avvalersi della regola per la differenza di quadrati

     k = ((7-4√(3))(4+2√(3)))/((4-2√(3))(4+2√(3))) = (28+14√(3)-16√(3)-8·3)/(16-4·3) = (4-2√(3))/(4) = (2(2-√(3)))/(4) = (2-√(3))/(2)

    Punto e)

    Nell'ultimo punto, ci viene chiesto di determinare il valore del parametro k in modo tale che la somma delle radici sai uguale al loro prodotto:

    x_(1)+x_2 = x_1·x_2

    Poiché x_(1)+x_2 = -(b)/(a) e x_(1)·x_2 = (c)/(a), la precedente relazione diventa

    -(b)/(a) = (c)/(a) → -b = c

    Sia chiaro che devono valere sia la condizione di realtà delle soluzioni (Δ ≥ 0), sia la condizione per la non nullità del coefficiente di x^2 (a ne 0).

    L'uguaglianza -b = c si traduce nell'equazione di primo grado in k

    -[-2(k-2)] = k-7 → 2k-4 = k-7 → k = -3

    Attenzione! Il valore ottenuto non soddisfa la condizione di realtà, di conseguenza non è un valore accettabile!

    In conclusione:

    a) le radici sono uguali se e solo se k = -(4)/(3);

    b) le radici sono opposte se e solo se k = 2;

    c) le radici sono reciproche per nessun valore di k;

    d) una radice è √(3) per k = (2-√(3))/(2);

    e) la somma delle radici è uguale al loro prodotto per alcun valore di k.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Scuole Superiori - Algebra