Procedimento per equazione parametrica di secondo grado

Ho bisogno di una mano per risolvere un esercizio sulle equazioni parametriche di secondo grado. In buona sostanza dovrei determinare il parametro in modo che le radici rispettino alcune condizioni. Potreste aiutarmi?

Data l'equazione parametrica di secondo grado

determinare i valori di in modo tale che:

a) le radici siano uguali;

b) le radici siano opposte;

c) le radici siano reciproche;

d) una radice sia $\sqrt{3}$ ;

e) la somma delle radici sia uguale al loro prodotto.

Grazie.

Domanda di Lucabig

Soluzioni

Consideriamo l'equazione parametrica di secondo grado
Il nostro compito prevede di determinare il valore da attribuire a in modo tale che vengano soddisfatte alcune condizioni. Per risolvere l'esercizio, bisogna avvalersi delle relazioni che intercorrono tra i coefficienti del polinomio al primo membro e le sue radici.
Punto a)
Affinché le due radici siano uguali, dobbiamo richiedere che il discriminante associato all'equazione sia uguale a zero. Indicati con $a, \ b \ \mbox{e} \ c$ rispettivamente il coefficiente di , quello di e il termine noto, vale a dire:
$a=k \ \ \ , \ \ \ b=-2(k-2) \ \ \ c=k-7$
il discriminante associato si ricava mediante la relazione:
$\Delta=b^2-4ac= [-2(k-2)]^2-4k(k-7)=4(k-2)^2-4k(k-7)=$
Sviluppiamo il quadrato di binomio e calcoliamo il prodotto tra i polinomi:
$\\ =4(k^2-4k+4)-4k^2+28k=4k^2-16k+16-4k^2+28k= \\ \\ =16+12k$
Imponiamo la nullità del delta, ricavando in questo modo l'equazione di primo grado avente come soluzione il richiesto:
$\Delta=0 \ \ \ \to \ \ \ 16+12k=0 \ \ \ \to \ \ \ k=-\frac{16}{12}=-\frac{4}{3}$
Possiamo affermare che le soluzioni dell'equazione sono uguali se e solo se $k=-\frac{4}{3}$ .
Punto b)
Nel secondo punto del problema ci viene chiesto di ricavare i valori da attribuire a di modo che le soluzioni dell'equazione siano opposte.
Affinché ciò sia possibile dobbiamo richiedere che:
- il coefficiente di sia diverso da zero - condizione necessaria e sufficiente affinché l'equazione data sia di secondo grado;
- il discriminante sia positivo o nullo, così da garantire la realtà delle due soluzioni;
- il rapporto $-\frac{b}{a}$ sia uguale a zero.
Giustifichiamo meglio la terza condizione: poiché le radici sono opposte $(x_{1}=-x_{2})$ , la loro somma dovrà essere necessariamente uguale a zero . Dalla teoria, sappiamo che la somma delle soluzioni di un'equazione di secondo grado è uguale a $-\frac{b}{a}$ , per cui:
$x_{1}+x_2=0 \ \ \ \to \ \ \ -\frac{b}{a}=0$
Nel caso considerato, il rapporto è
$-\frac{-2(k-2)}{k}=0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{2k-4}{k}=0 \ \ \mbox{con} \ k\ne 0$
Alla luce delle considerazioni precedenti, siamo in grado di impostare le condizioni che consentono di risolvere l'esercizio:
$\\ a\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ k\ne 0 \\ \\ \Delta\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ 16+12k\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ k\ge -\frac{4}{3}\\ \\ x_{1}+x_{2}=0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{2k-4}{k}=0 \ \ \ \to \ \ \ k=2$
Il valore soddisfa sia la condizione di realtà $(\Delta\ge 0)$ , sia la condizione di non nullità del coefficiente di $x^2, \ (a\ne 0),\$ , per cui è un valore accettabile per .
Punto c)
Affinché le soluzioni dell'equazione siano reciproche, occorre richiedere che il loro prodotto sia uguale a 1, cioè: $x_{1}\cdot x_{2}=1$ . Inoltre bisogna avvalersi della seguente relazione che lega il prodotto delle radici con i coefficienti:
$x_{1}\cdot x_2=\frac{c}{a}$
Chiaramente vanno considerate sia la condizione di realtà, $\Delta\ge 0$ , sia la condizione che garantisce la non nullità del coefficiente di $x^2, \ a\ne 0$ .
Abbiamo già analizzato le due condizioni nella parte precedente, dobbiamo solamente imporre la condizione sul prodotto delle radici:
$x_{1}\cdot x_2=1 \ \ \ \to \ \ \ \frac{c}{a}=1 \ \ \ \to \ \ \ c=a$
In termini più espliciti, dobbiamo richiedere che il coefficiente di sia uguale al termine noto:
$c=a \ \ \ \to \ \ \ k-7=k \ \ \ \to \ \ \ -7=0$
Abbiamo ottenuto un'equazione impossibile, pertanto possiamo affermare che non esiste alcun valore di per cui l'equazione abbia soluzioni reciproche.
Punto d)
Nel quarto punto ci viene chiesto di ricavare il valore di affinché l'equazione
abbia come soluzione $x=\sqrt{3}$ . Dal punto di vista operativo, è sufficiente rimpiazzare con $\sqrt{3}$ e risolvere l'equazione di primo grado nell'incognita :
$\\ k(\sqrt{3})^2-2(k-2)\cdot\sqrt{3}+k-7=0 \\ \\ 3k-4\sqrt{3}-2\sqrt{3}k+k-7=0$
Raccogliamo rispetto a
$(4-2\sqrt{3})k-7+4\sqrt{3}=0$
e isoliamo al primo membro
$(4-2\sqrt{3})k=7-4\sqrt{3} \ \ \ \to \ \ \ k=\frac{7-4\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}}$
Sebbene non sia strettamente necessario, è possibile migliorare l'estetica del risultato effettuando la razionalizzazione del denominatore: basta moltiplicare e dividere la frazione per $4+2\sqrt{3}$ e avvalersi della regola per la differenza di quadrati
$\\ k=\frac{(7-4\sqrt{3})(4+2\sqrt{3})}{(4-2\sqrt{3})(4+2\sqrt{3})}=\frac{28+14\sqrt{3}-16\sqrt{3}-8\cdot 3}{16-4\cdot 3}=\\ \\ \\ =\frac{4-2\sqrt{3}}{4}=\frac{2(2-\sqrt{3})}{4}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$
Punto e)
Nell'ultimo punto, ci viene chiesto di determinare il valore del parametro in modo tale che la somma delle radici sai uguale al loro prodotto:
$x_{1}+x_2=x_1\cdot x_2$
Poiché $x_{1}+x_2=-\frac{b}{a}\ \mbox{e} \ x_{1}\cdot x_2=\frac{c}{a}$ , la precedente relazione diventa
$-\frac{b}{a}=\frac{c}{a} \ \ \ \to \ \ \ -b=c$
Sia chiaro che devono valere sia la condizione di realtà delle soluzioni $(\Delta\ge 0)$ , sia la condizione per la non nullità del coefficiente di $x^2\ (a\ne 0)$ .
L'uguaglianza si traduce nell'equazione di primo grado in
$-[-2(k-2)]=k-7 \ \ \ \to \ \ \ 2k-4=k-7 \ \ \ \to \ \ \ k=-3$
Attenzione! Il valore ottenuto non soddisfa la condizione di realtà, di conseguenza non è un valore accettabile!
In conclusione:
a) le radici sono uguali se e solo se $k=-\frac{4}{3}$ ;
b) le radici sono opposte se e solo se ;
c) le radici sono reciproche per nessun valore di ;
d) una radice è $\sqrt{3}$ per $k=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$ ;
e) la somma delle radici è uguale al loro prodotto per alcun valore di .
Risposta di Ifrit