Soluzioni
  • Ciao lucabig arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo l'equazione letterale di secondo grado

    kx^2-2(k-2)x+k-7=0

    Affinché le radici siano uguali dobbiamo richiedere che il discriminante associato sia nullo:

    \Delta= (-2(k-2))^2-4k(k-7)=4(4+3k)

    Il discriminante è zero se e solo se:

    4(4+3k)=0\iff 4+3k=0\iff k= -\frac{4}{3}

    (in questo caso le radici sono x=\frac{5}{2})

    Per gli esercizi seguenti ci facciamo furbi, dividiamo membro a membro per k, così da ottenere:

    x^2-\frac{2(k-2)}{k}x+\frac{k-7}{k}=0

    Il polinomio lo abbiamo espresso nella forma:

    x^2-s x+p=0

    Ricorda che il coefficiente della x rappresenta la - somma delle radici, mentre il termine noto il prodotto:

    Le radici sono opposte, quindi la loro somma è zero quindi dobbiamo richiedere che 

    \frac{2(k-2)}{k}=0\iff 2(k-2)=0\iff k=2

    In questo caso le radici sono:

    x_1= -\sqrt{\frac{5}{2}}, x_2= \sqrt{\frac{5}{2}}

    Le radici sono reciproce, quindi il loro prodotto è 1, pertanto dobbiamo imporre che il termine noto sia 1:

    \frac{k-7}{k}=1\iff k-7=k\iff -7=0

    Non è possibile determinare k affinché le radici siano reciproche.

    ______________

    Per rispondere alla domanda

    "\sqrt{3} è una radice"

    Siamo costretti a determinare le soluzioni:

    x_1= \frac{2(k-2)-\sqrt{4(4+3k)}}{2k}

    x_2= \frac{2(k-2)+\sqrt{4(4+3k)}}{2k}

    le radici sono reali se e solo se:

    4+3k\ge 0\iff k\ge -\frac{4}{3}

    Affinché \sqrt{3} sia radice, dobbiamo determinare la soluzione della equazione:

     

    \frac{2(k-2)-\sqrt{4(4+3k)}}{2k}= \sqrt{3}

    che non ammette soluzioni.

    x_2= \frac{2(k-2)+\sqrt{4(4+3k)}}{2k}=\sqrt{3}\iff k= \frac{1}{2}(2-\sqrt{3})

    (scusami se non scrivo i passaggi, ma la cosa diventa molto lunga, se però hai bisogno sai cosa fare)

    __________________

    L'ultima condizione pretende che la somma deve essere uguale al prodotto, da ciò segue che:

    \frac{2(k-2)}{k}= \frac{k-7}{k}

    quindi

    2k-4= k-7

    k= -3

    Che teoricamente non è accettabile perché il discriminante della equazione è minore di zero, se però lavoriamo con  i numeri complessi, la cosa funziona. :)

    Mamma mia che fatica :|

    Risposta di Ifrit
  • Uuuuh scusami Ifrit, non pensavo che il procedimento fosse così lungo, dovevo mettere qualche operazione in meno. Mi dispiace e Grazie. Comunque ragioniamo con calma, fino al discriminante ci ero arrivato da solo xD poi non ho ben capito perchè x è uguale a 5/2

    Risposta di Lucabig
  • Ciao Lucabig, non preoccuparti, e scusami per il tremendo ritardo con cui ti rispondo, mi ero affossato in un problema di geometria analitica che mi ha fatto vedere le stelle xD

    In pratica se prendi 

    k=-\frac{4}{3}

    L'equazione diventa:

    \frac{-4x^2+20x-25}{3}=0

    Risolvendola otterrai che le soluzioni sono reali e coincidenti e sono:

    x_1=x_2= \frac{5}{2}

    Niente di più e niente di meno. Ho solamente fatto i conti (non è vero, li ha fatti il pc per me xD)

    Risposta di Ifrit
  • Tranquillo. ;)

     

    Lo so, sono duro di testa, infatti non ho ancora capito.

     

    Quel - 4/3 in quale equazione lo hai sostituito? Ho provato a sostituirlo nell'equzione inizia ma non esce.

    Risposta di Lucabig
  • Sì in quella iniziale, come mai non ti esce? Embarassed Non dirmi che ho sgarrato i conti Cry

    L'equazione iniziale è:

    -\frac{4}{3}x^2-2\left(-\frac{4}{3}-2\right)x+\left(-\frac{4}{3}\right)-7=0

    Una volta svolti i conti otterrai l'equazione:

    \frac{-4x^2+20x-25}{3}=0

    Ti torna? :D

    Risposta di Ifrit
  • Mannaccia al segno meno. Innocent

    Ti ringrazio Ifrit. E forza Inter Tongue

    Risposta di Lucabig
  • Prego e sempre forza inter. Mi raccomando, stai attento ai conti. Purtroppo questi esercizi sono proprio una rottura di ... Non è questa la Matematica bella xD

    Risposta di Ifrit
 
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