Procedimento per equazione parametrica di secondo grado

Buon pomeriggio Staff :) domani ho il compito di Matematica, speriamo bene! :D

L'ultimo argomento affrontato riguarda le equazioni parametriche di secondo grado che non mi sono entrate per nulla nella testa. L'equazione inclusa la traccia è la seguente:

Determina i valori del parametro in modo che siano soddisfatte le condizioni.

a) le radici siano uguali;

b) le radici sono opposte;

c) le radici sono reciproche;

d) una radice è $\sqrt{3}$ ;

e) la somma delle radici è uguale al loro prodotto.

Grazie davvero.

In Superiori - Algebra - Domanda di Lucabig

Soluzioni

Ciao lucabig arrivo :D

Risposta di Ifrit
Abbiamo l'equazione letterale di secondo grado

Affinché le radici siano uguali dobbiamo richiedere che il discriminante associato sia nullo:

$\Delta= (-2(k-2))^2-4k(k-7)=4(4+3k)$

Il discriminante è zero se e solo se:

$4(4+3k)=0\iff 4+3k=0\iff k= -\frac{4}{3}$

(in questo caso le radici sono $x=\frac{5}{2}$ )

Per gli esercizi seguenti ci facciamo furbi, dividiamo membro a membro per k, così da ottenere:

$x^2-\frac{2(k-2)}{k}x+\frac{k-7}{k}=0$

Il polinomio lo abbiamo espresso nella forma:

Ricorda che il coefficiente della x rappresenta la - somma delle radici, mentre il termine noto il prodotto:

Le radici sono opposte, quindi la loro somma è zero quindi dobbiamo richiedere che

$\frac{2(k-2)}{k}=0\iff 2(k-2)=0\iff k=2$

In questo caso le radici sono:

$x_1= -\sqrt{\frac{5}{2}}, x_2= \sqrt{\frac{5}{2}}$

Le radici sono reciproce, quindi il loro prodotto è 1, pertanto dobbiamo imporre che il termine noto sia 1:

$\frac{k-7}{k}=1\iff k-7=k\iff -7=0$

Non è possibile determinare k affinché le radici siano reciproche.

______________

Per rispondere alla domanda

" $\sqrt{3}$ è una radice"

Siamo costretti a determinare le soluzioni:

$x_1= \frac{2(k-2)-\sqrt{4(4+3k)}}{2k}$

$x_2= \frac{2(k-2)+\sqrt{4(4+3k)}}{2k}$

le radici sono reali se e solo se:

$4+3k\ge 0\iff k\ge -\frac{4}{3}$

Affinché $\sqrt{3}$ sia radice, dobbiamo determinare la soluzione della equazione:

$\frac{2(k-2)-\sqrt{4(4+3k)}}{2k}= \sqrt{3}$

che non ammette soluzioni.

$x_2= \frac{2(k-2)+\sqrt{4(4+3k)}}{2k}=\sqrt{3}\iff k= \frac{1}{2}(2-\sqrt{3})$

(scusami se non scrivo i passaggi, ma la cosa diventa molto lunga, se però hai bisogno sai cosa fare)

__________________

L'ultima condizione pretende che la somma deve essere uguale al prodotto, da ciò segue che:

$\frac{2(k-2)}{k}= \frac{k-7}{k}$

quindi

Che teoricamente non è accettabile perché il discriminante della equazione è minore di zero, se però lavoriamo con i numeri complessi, la cosa funziona. :)

Mamma mia che fatica :|

Risposta di Ifrit
Uuuuh scusami Ifrit, non pensavo che il procedimento fosse così lungo, dovevo mettere qualche operazione in meno. Mi dispiace e Grazie. Comunque ragioniamo con calma, fino al discriminante ci ero arrivato da solo xD poi non ho ben capito perchè x è uguale a 5/2

Risposta di Lucabig
Ciao Lucabig, non preoccuparti, e scusami per il tremendo ritardo con cui ti rispondo, mi ero affossato in un problema di geometria analitica che mi ha fatto vedere le stelle xD

In pratica se prendi

$k=-\frac{4}{3}$

L'equazione diventa:

$\frac{-4x^2+20x-25}{3}=0$

Risolvendola otterrai che le soluzioni sono reali e coincidenti e sono:

$x_1=x_2= \frac{5}{2}$

Niente di più e niente di meno. Ho solamente fatto i conti (non è vero, li ha fatti il pc per me xD)

Risposta di Ifrit
Tranquillo. ;)

Lo so, sono duro di testa, infatti non ho ancora capito.

Quel - 4/3 in quale equazione lo hai sostituito? Ho provato a sostituirlo nell'equzione inizia ma non esce.

Risposta di Lucabig
Sì in quella iniziale, come mai non ti esce? Non dirmi che ho sgarrato i conti

L'equazione iniziale è:

$-\frac{4}{3}x^2-2\left(-\frac{4}{3}-2\right)x+\left(-\frac{4}{3}\right)-7=0$

Una volta svolti i conti otterrai l'equazione:

$\frac{-4x^2+20x-25}{3}=0$

Ti torna? :D

Risposta di Ifrit
Mannaccia al segno meno.

Ti ringrazio Ifrit. E forza Inter

Risposta di Lucabig
Prego e sempre forza inter. Mi raccomando, stai attento ai conti. Purtroppo questi esercizi sono proprio una rottura di ... Non è questa la Matematica bella xD

Risposta di Ifrit