Soluzioni
  • Consideriamo l'equazione parametrica di secondo grado

    kx^2-2(k-2)x+k-7=0

    Il nostro compito prevede di determinare il valore da attribuire a k in modo tale che vengano soddisfatte alcune condizioni. Per risolvere l'esercizio, bisogna avvalersi delle relazioni che intercorrono tra i coefficienti del polinomio al primo membro e le sue radici.

    Punto a)

    Affinché le due radici siano uguali, dobbiamo richiedere che il discriminante associato all'equazione sia uguale a zero. Indicati con a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto, vale a dire:

    a=k \ \ \ , \ \ \ b=-2(k-2) \ \ \ c=k-7

    il discriminante associato si ricava mediante la relazione:

    \Delta=b^2-4ac= [-2(k-2)]^2-4k(k-7)=4(k-2)^2-4k(k-7)=

    Sviluppiamo il quadrato di binomio e calcoliamo il prodotto tra i polinomi:

    \\ =4(k^2-4k+4)-4k^2+28k=4k^2-16k+16-4k^2+28k= \\ \\ =16+12k

    Imponiamo la nullità del delta, ricavando in questo modo l'equazione di primo grado avente come soluzione il k richiesto:

    \Delta=0 \ \ \ \to \ \ \ 16+12k=0 \ \ \ \to \ \ \ k=-\frac{16}{12}=-\frac{4}{3}

    Possiamo affermare che le soluzioni dell'equazione sono uguali se e solo se k=-\frac{4}{3}.

    Punto b)

    Nel secondo punto del problema ci viene chiesto di ricavare i valori da attribuire a k di modo che le soluzioni dell'equazione siano opposte.

    Affinché ciò sia possibile dobbiamo richiedere che:

    - il coefficiente di x^2 sia diverso da zero - condizione necessaria e sufficiente affinché l'equazione data sia di secondo grado;

    - il discriminante sia positivo o nullo, così da garantire la realtà delle due soluzioni;

    - il rapporto -\frac{b}{a} sia uguale a zero.

    Giustifichiamo meglio la terza condizione: poiché le radici sono opposte (x_{1}=-x_{2}), la loro somma dovrà essere necessariamente uguale a zero (x_1+x_2=0). Dalla teoria, sappiamo che la somma delle soluzioni di un'equazione di secondo grado è uguale a -\frac{b}{a}, per cui:

    x_{1}+x_2=0 \ \ \ \to \ \ \ -\frac{b}{a}=0

    Nel caso considerato, il rapporto è

    -\frac{-2(k-2)}{k}=0  \ \ \ \to \ \ \ \frac{2k-4}{k}=0 \ \ \mbox{con} \ k\ne 0

    Alla luce delle considerazioni precedenti, siamo in grado di impostare le condizioni che consentono di risolvere l'esercizio:

    \\ a\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ k\ne 0 \\ \\ \Delta\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ 16+12k\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ k\ge -\frac{4}{3}\\ \\ x_{1}+x_{2}=0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{2k-4}{k}=0 \ \ \ \to \ \ \ k=2

    Il valore k=2 soddisfa sia la condizione di realtà (\Delta\ge 0), sia la condizione di non nullità del coefficiente di x^2, \ (a\ne 0),\ , per cui è un valore accettabile per k.

    Punto c)

    Affinché le soluzioni dell'equazione siano reciproche, occorre richiedere che il loro prodotto sia uguale a 1, cioè: x_{1}\cdot x_{2}=1. Inoltre bisogna avvalersi della seguente relazione che lega il prodotto delle radici con i coefficienti:

    x_{1}\cdot x_2=\frac{c}{a}

    Chiaramente vanno considerate sia la condizione di realtà, \Delta\ge 0, sia la condizione che garantisce la non nullità del coefficiente di x^2, \ a\ne 0.

    Abbiamo già analizzato le due condizioni nella parte precedente, dobbiamo solamente imporre la condizione sul prodotto delle radici:

    x_{1}\cdot x_2=1 \ \ \ \to \ \ \ \frac{c}{a}=1 \ \ \ \to \ \ \ c=a

    In termini più espliciti, dobbiamo richiedere che il coefficiente di x^2 sia uguale al termine noto:

    c=a \ \ \ \to \ \ \ k-7=k \ \ \ \to \ \ \ -7=0

    Abbiamo ottenuto un'equazione impossibile, pertanto possiamo affermare che non esiste alcun valore di k per cui l'equazione abbia soluzioni reciproche.

    Punto d)

    Nel quarto punto ci viene chiesto di ricavare il valore di k affinché l'equazione

    kx^2-2(k-2)x+k-7=0

    abbia come soluzione x=\sqrt{3}. Dal punto di vista operativo, è sufficiente rimpiazzare x con \sqrt{3} e risolvere l'equazione di primo grado nell'incognita k:

    \\ k(\sqrt{3})^2-2(k-2)\cdot\sqrt{3}+k-7=0 \\ \\ 3k-4\sqrt{3}-2\sqrt{3}k+k-7=0

    Raccogliamo rispetto a k

    (4-2\sqrt{3})k-7+4\sqrt{3}=0

    e isoliamo k al primo membro

    (4-2\sqrt{3})k=7-4\sqrt{3} \ \ \ \to \ \ \ k=\frac{7-4\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}}

    Sebbene non sia strettamente necessario, è possibile migliorare l'estetica del risultato effettuando la razionalizzazione del denominatore: basta moltiplicare e dividere la frazione per 4+2\sqrt{3} e avvalersi della regola per la differenza di quadrati

    \\ k=\frac{(7-4\sqrt{3})(4+2\sqrt{3})}{(4-2\sqrt{3})(4+2\sqrt{3})}=\frac{28+14\sqrt{3}-16\sqrt{3}-8\cdot 3}{16-4\cdot 3}=\\ \\ \\ =\frac{4-2\sqrt{3}}{4}=\frac{2(2-\sqrt{3})}{4}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}

    Punto e)

    Nell'ultimo punto, ci viene chiesto di determinare il valore del parametro k in modo tale che la somma delle radici sai uguale al loro prodotto:

    x_{1}+x_2=x_1\cdot x_2

    Poiché x_{1}+x_2=-\frac{b}{a}\ \mbox{e} \ x_{1}\cdot x_2=\frac{c}{a}, la precedente relazione diventa

    -\frac{b}{a}=\frac{c}{a} \ \ \ \to \ \ \ -b=c

    Sia chiaro che devono valere sia la condizione di realtà delle soluzioni (\Delta\ge 0), sia la condizione per la non nullità del coefficiente di x^2\  (a\ne 0).

    L'uguaglianza -b=c si traduce nell'equazione di primo grado in k

    -[-2(k-2)]=k-7 \ \ \ \to \ \ \ 2k-4=k-7 \ \ \ \to \ \ \ k=-3

    Attenzione! Il valore ottenuto non soddisfa la condizione di realtà, di conseguenza non è un valore accettabile!

    In conclusione:

    a) le radici sono uguali se e solo se k=-\frac{4}{3};

    b) le radici sono opposte se e solo se k=2;

    c) le radici sono reciproche per nessun valore di k;

    d) una radice è \sqrt{3} per k=\frac{2-\sqrt{3}}{2};

    e) la somma delle radici è uguale al loro prodotto per alcun valore di k.

    Risposta di Ifrit
 
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