Esercizio sul potenziale di un campo vettoriale

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Salve mi servirebbe aiuto per determinare il potenziale di un campo vettoriale da R^2 a R^2 per un esercizio di preparazione.

Calcolare il potenziale U\left(x,y\right) del campo vettoriale F=\left(y\cos(xy),x\cos(xy))

Grazie ragazzi...

Domanda di Volpi

 
Soluzioni

  • Hello Volpi, arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Per prima cosa osserva che:

    F=(a(x, y), b(x, y))

    con

    a(x, y)= y \cos(x y)

    b(x,y)= x\cos(x y)

    Inoltre:

    a_y(x, y)= \cos(x y)-x y \sin(x y)

    b_x(x,y)= \cos(x y)-x y\sin(x y)

    Il campo è chiuso ed è definito in R^2 che è un insieme convesso. Il campo è esatto e ammette potenziale. Calcoliamolo:

    Integriamo rispetto a x la prima componente:

    U(x, y)= \int a(x,y)dx=\sin(x y)+c(y)

    dove c(y) è una funzione che dipende esclusivamente dalla variabile y.

    Deriviamo U rispetto ad y:

    U_y(x, y)=x \cos(x y)+c'(y)

     

    Per definizione di potenziale, la derivata appena ottenuta deve essere uguale alla seconda componente:

    U_y(x, y)= b(x, y)

    da cui otteniamo l'equazione:

    x\cos(x y)+c'(y)= x\cos(x y)\iff c'(y)=0\implies c(y)=k

     

    Il potenziale è quindi:

     

    U(x, y)= \sin(x y)+k

     

    Infatti:

    \nabla U(x, y)= (y\cos(x y), x\cos(x y))

    Risposta di Ifrit

  • sei un fulmine, grazie ancora!!!!!

    Risposta di Volpi
 
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