Esercizio sul potenziale di un campo vettoriale

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Salve mi servirebbe aiuto per determinare il potenziale di un campo vettoriale da R^2 a R^2 per un esercizio di preparazione.

Calcolare il potenziale U(x,y) del campo vettoriale F = (ycos(xy),xcos(xy))

Grazie ragazzi...

Domanda di Volpi

 
Soluzioni

  • Hello Volpi, arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Per prima cosa osserva che:

    F = (a(x, y), b(x, y))

    con

    a(x, y) = y cos(x y)

    b(x,y) = xcos(x y)

    Inoltre:

    a_y(x, y) = cos(x y)-x y sin(x y)

    b_x(x,y) = cos(x y)-x ysin(x y)

    Il campo è chiuso ed è definito in R^2 che è un insieme convesso. Il campo è esatto e ammette potenziale. Calcoliamolo:

    Integriamo rispetto a x la prima componente:

    U(x, y) = ∫ a(x,y)dx = sin(x y)+c(y)

    dove c(y) è una funzione che dipende esclusivamente dalla variabile y.

    Deriviamo U rispetto ad y:

    U_y(x, y) = x cos(x y)+c'(y)

     

    Per definizione di potenziale, la derivata appena ottenuta deve essere uguale alla seconda componente:

    U_y(x, y) = b(x, y)

    da cui otteniamo l'equazione:

    xcos(x y)+c'(y) = xcos(x y) ⇔ c'(y) = 0 ⇒ c(y) = k

     

    Il potenziale è quindi:

     

    U(x, y) = sin(x y)+k

     

    Infatti:

    nabla U(x, y) = (ycos(x y), xcos(x y))

    Risposta di Ifrit

  • sei un fulmine, grazie ancora!!!!!

    Risposta di Volpi
 
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