Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to1} x^{\frac{1}{x-1}}=(\bullet)

    presenta una forma indeterminata del tipo [1^{\infty}] la quale può essere risolta applicando l'identità derivante dalla definizione di logaritmo

    y=e^{\ln(y)} \ \ \ \mbox{per} \ y>0

    Tale relazione permette di esprimere il limite nella forma equivalente

    (\bullet)=\lim_{x\to1}e^{\ln\left(x^{\frac{1}{x-1}}\right)}=

    e invocando inoltre le proprietà dei logaritmi scriviamo

    =\lim_{x\to 1}e^{\frac{1}{x-1}\ln(x)}=(\bullet\bullet)

    Il calcolo di questo limite passa per il limite notevole del logaritmo

    \lim_{h(x)\to 0}\frac{\ln(1+h(x))}{h(x)}=1

    in altri termini dobbiamo fare in modo che l'argomento del logaritmo sia esattamente nella forma 1+h(x) con  h(x) tendente a 0. Nel caso in esame, è sufficiente sommare e sottrarre 1 così che il limite diventi

    (\bullet\bullet)=\lim_{x\to 1}e^{\frac{1}{x-1}\ln(1+(x-1))}=

    In accordo con il limite notevole del logaritmo, l'esponente tende ad 1 di conseguenza possiamo concludere che il limite iniziale vale e

    =\lim_{x\to1}e^{\frac{\ln(1+(x-1))}{x-1}}=e^{1}=e

    Finito.

    Risposta di Ifrit
 
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