Limite esponenziale con esponente fratto

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Devo calcolare il limite di una funzione esponenziale a base variabile con esponente fratto

 

lim_(x → 1)x^((1)/(x-1))

 

Come posso procedere? Grazie.

Domanda di Luigi2110

 
Soluzioni

  • Il limite

    lim_(x → 1) x^((1)/(x-1)) = (•)

    presenta una forma indeterminata del tipo [1^(∞)] la quale può essere risolta applicando l'identità derivante dalla definizione di logaritmo

    y = e^(ln(y)) per y > 0

    Tale relazione permette di esprimere il limite nella forma equivalente

    (•) = lim_(x → 1)e^(ln(x^((1)/(x-1)))) =

    e invocando inoltre le proprietà dei logaritmi scriviamo

    = lim_(x → 1)e^((1)/(x-1)ln(x)) = (• •)

    Il calcolo di questo limite passa per il limite notevole del logaritmo

    lim_(h(x) → 0)(ln(1+h(x)))/(h(x)) = 1

    in altri termini dobbiamo fare in modo che l'argomento del logaritmo sia esattamente nella forma 1+h(x) con  h(x) tendente a 0. Nel caso in esame, è sufficiente sommare e sottrarre 1 così che il limite diventi

    (• •) = lim_(x → 1)e^((1)/(x-1)ln(1+(x-1))) =

    In accordo con il limite notevole del logaritmo, l'esponente tende ad 1 di conseguenza possiamo concludere che il limite iniziale vale e

    = lim_(x → 1)e^((ln(1+(x-1)))/(x-1)) = e^(1) = e

    Finito.

    Risposta di Ifrit
 
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