Soluzioni
  • Ciao annapi arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • La prima cosa che bisogna fare è dimostrare che il triangolo di vertici 

    A(-2,-3), B\left(3, -\frac{1}{2}\right), C\left(-8, 9\right)

    è un triangolo rettangolo. Per farlo, dobbiamo calcolare la distanza dei punti a due a due:

    AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A- y_B)^2}=

    = \sqrt{(-2-3)^2+\left(-3+\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{5\sqrt{5}}{2}

    AC=\sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A- y_C)^2}=

    =\sqrt{(-2+8)^2+(-3-9)^2}= 6\sqrt{5}

    Infine:

    BC= \sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}=

    BC= \sqrt{(3+8)^2+\left(-\frac{1}{2}-9\right)^2}= \frac{13\sqrt{5}}{2}

     

    A questo punto osserviamo che i possibili cateti sono:

    AB e AC

    (sono quelli di lunghezza minore)

    Se il triangolo è rettangolo allora soddisfa il teorema di pitagora:

    BC^2= AC^2+AB^2

    Ora

    BC^2= \left(\frac{13\sqrt{5}}{2}\right)^2= \frac{845}{4}

    mentre

    AC^2= (6\sqrt{5})^2=180

    infine:

    AB^2= \left(\frac{5\sqrt{5}}{2}\right)^2=\frac{125 }{4}

    Poiché

    AC^2+AB^2= 180+\frac{125}{4}=\frac{845}{4}= BC^2

    Abbiamo che il triangolo in questione è rettangolo.

     

    Calcoliamo la lunghezza della mediana relativa all'ipotenusa. Ricordiamo che la mediana è il segmento che congiunge il punto medio d'un lato con il vertice opposto, calcoliamo le coordinate del punto medio di BC:

     

    x_M=\frac{x_B+x_C}{2}= \frac{3-8}{2}= -\frac{5}{2}

    y_M= \frac{y_B+y_C}{2}= \frac{-\frac{1}{2}+9}{2}= \frac{17}{4}

     

    Il punto medio è quindi:

    M\left(-\frac{5}{2}, \frac{17}{4}\right)

    Calcoliamo ora la distanza tra M e il vertice opposto, A:

    AM= \sqrt{(x_A-x_M )^2+(y_A-y_M )^2}=

    = \sqrt{\left(-2+\frac{5}{2}\right)^2+\left(-3-\frac{17}{4}\right)^2}= \frac{13\sqrt{5}}{4}

     

    Osserva infine che:

    \frac{BC}{2}= \frac{\frac{13\sqrt{5}}{2}}{2}=\frac{13\sqrt{5}}{4}=AM

     

    cioè la mediana è congruente alla metà della ipotenusa.

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Geometria