Soluzioni
  • Ciao Frascatano, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Ok, dunque la successione è proprio quella che ho scritto sopra Laughing

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{\left[\left(\frac{n^7}{e^{6n}} -\frac{n^5}{e^{5n} }\right)-\frac{1}{e^{n^{3}}}\right]n^{\frac{5}{n}}}{\left[\cos{(e^{-n})}-1+\frac{e^{-2n}}{2}\right]\left[\left(1+\frac{n^5}{e^{n}}\right)^{\frac{1}{2}}-1\right]}}

    A numeratore raccogli, dalle prime due coppie di parentesi tonde 

    \frac{n^5}{e^{5n}}

    per cui rimane

    \frac{n^5}{e^{5n}}\left(\frac{n^2}{e^n}-1\right)\sim_{n\to +\infty} -\frac{n^5}{e^{5n}}

    nella prima coppia di parentesi quadre, a numeratore, rimane

    -\frac{n^5}{e^{5n}}-\frac{1}{e^{n^{3}}}

    da cui raccogliamo

    -\frac{e^{n^5}}{e^{5n}}

    e rimane

    -\frac{n^5}{e^{5n}}\left[1+\frac{e^{5n}}{n^5e^{n^{3}}}\sim_{n\to +\infty} -\frac{n^5}{e^{5n}}

    Il fattore rimanente a numeratore converge a 1

    n^{\frac{5}{n}}

    Mentre a denominatore, nella prima coppia di parentesi quadre, dobbiamo ricorrere a Taylor

    \cos{(e^{-n})}-1=-\frac{e^{-2n}}{2}+\frac{e^{-4n}}{24}+o\left(e^{-4n}\right)

    Se calcoliamo la somma tra i termini contenuti nella prima coppia di parentesi quadre a denominatore, ci rimane

    +\frac{e^{-4n}}{24}

    (tralascio l'o-piccolo)

    Al secondo fattore del denominatore possiamo applicare un noto limite notevole, e scrivere per equivalenza asintotica

    \left(1+\frac{n^5}{e^{n}}\right)^{\frac{1}{2}}-1\sim_{n\to +\infty} \frac{1}{2}\frac{n^{5}}{e^{n}}

    Ricomponiamo il tutto

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{-\frac{n^5}{e^{5n}}}{\frac{e^{-4n}}{24}\frac{n^{5}}{2e^{n}}}=

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{-\frac{n^5}{e^{5n}}}{\frac{1}{24}\frac{n^5}{2e^{5n}}}}=-48

    Namasté!

    Risposta di Omega
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