Limite trigonometrico con logaritmo

Ho problemi con un limite trigonometrico con un logaritmo. E' il sesto esercizio tratto dalla scheda 3 di esercizi di riepilogo sui limiti

lim_(x → 0)(xsin(2x)-2ln((1+sin^4(x))))/(ln(1-x^4))

Grazie a chi mi aiuterà!

Domanda di Luigi2110
Soluzione

Il limite

lim_(x → 0)(xsin(2x)-2ln(1+sin^4(x)))/(ln(1-x^4)) = (•)

si presenta nella forma indeterminata [(0)/(0)] e può essere risolto mediante l'uso di opportune stime asintotiche, costruite a partire dai limiti notevoli. Andiamo nel particolare e scriviamo tutte le informazioni necessarie a risolvere il nostro problema.

Dal limite notevole del seno in forma generale

lim_(f(x) → 0)(sin(f(x)))/(f(x)) = 1

segue la relazione asintotica

sin(f(x)) ~ _(f(x) → 0)f(x)

applicabile nel momento in cui l'argomento del seno è infinitesimo. Dal limite notevole del logaritmo

lim_(g(x) → 0)(ln(1+g(x)))/(g(x)) = 1

deduciamo la relazione asintotica

ln(1+g(x)) ~ _(g(x) → 0)g(x)

valida ogniqualvolta che l'argomento del logaritmo tende ad 1, o equivalentemente quando g(x) → 0.

In riferimento al limite della traccia osserviamo che quando x → 0 i termini 2x, sin^4(x) e -x^4 sono infinitesimi

beginarraylc ; 2x → 0 per x → 0 ; sin^4(x) → 0 per x → 0 ;-x^4 → 0 per x → 0 endarray

pertanto siamo autorizzati a costruire le stime asintotiche

 sin(2x) ~ _(x → 0)2x ; ln(1+sin^4(x)) ~ _(x → 0)sin^(4)(x) ~ _(x → 0)x^(4) ; ln(1-x^4) ~ _(x → 0)-x^4

Sostituiamo le stime nel limite così che diventi

 (•) = lim_(x → 0)(x·2x-2 x^4)/(-x^4) = lim_(x → 0)(2x^2-2x^4)/(-x^4) =

Raccogliamo totalmente x^2 e semplifichiamolo con il denominatore

 = lim_(x → 0)(x^2(2-2x^2))/(-x^4) = lim_(x → 0)(2-2x^2)/(-x^2) =

Il risultato è - infinito e lo si evince trasportando fuori dal simbolo di limite il segno meno e applicando a dovere l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi

= -lim_(x → 0)(2-2x^2)/(x^2) = -[(2)/(0^(+))] = -(+∞) = -∞

Il limite è svolto.

Approfondimento

Osserviamo che il limite

lim_(x → 0)(2x^2-2 x^4)/(-x^4) =

può essere risolto prendendo in considerazione l'infinitesimo principale, ossia l'infinitesimo di ordine inferiore, al numeratore

 = lim_(x → 0)(2x^2)/(-x^4) = lim_(x → 0)(-2)/(x^2) = -∞

Il limite è risolto.

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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