Limite trigonometrico con logaritmo

Ho problemi con un limite trigonometrico con un logaritmo. E' il sesto esercizio tratto dalla scheda 3 di esercizi di riepilogo sui limiti

$\lim_{x\to 0}{\frac{x\sin{(2x)}-2\ln{(1+\sin^4{(x)})}}{\ln{(1-x^4)}}}$

Grazie a chi mi aiuterà!

Domanda di Luigi2110

Soluzioni

Il limite
$\lim_{x\to 0}\frac{x\sin(2x)-2\ln(1+\sin^4(x))}{\ln(1-x^4)}=(\bullet)$
si presenta nella forma indeterminata $\left[\frac{0}{0}\right]$ e può essere risolto mediante l'uso di opportune stime asintotiche, costruite a partire dai limiti notevoli. Andiamo nel particolare e scriviamo tutte le informazioni necessarie a risolvere il nostro problema.
Dal limite notevole del seno in forma generale
$\lim_{f(x)\to 0}\frac{\sin(f(x))}{f(x)}=1$
segue la relazione asintotica
$\sin(f(x))\sim_{f(x)\to 0}f(x)$
applicabile nel momento in cui l'argomento del seno è infinitesimo. Dal limite notevole del logaritmo
$\lim_{g(x)\to 0}\frac{\ln(1+g(x))}{g(x)}=1$
deduciamo la relazione asintotica
$\ln(1+g(x))\sim_{g(x)\to 0}g(x)$
valida ogniqualvolta che l'argomento del logaritmo tende ad 1, o equivalentemente quando $g(x)\to 0$ .
In riferimento al limite della traccia osserviamo che quando $x\to 0$ i termini $2x, \ \sin^4(x)\mbox{ e }-x^4$ sono infinitesimi
$\begin{array}{lc} \\ 2x\to 0 &\mbox{ per }x\to 0 \\ \\ \sin^4(x)\to 0 &\mbox{ per }x\to 0 \\ \\ -x^4\to 0 &\mbox{ per }x\to 0\end{array}$
pertanto siamo autorizzati a costruire le stime asintotiche
$\\ \sin(2x)\sim_{x\to 0}2x \\ \\ \ln(1+\sin^4(x))\sim_{x\to 0}\sin^{4}(x)\sim_{x\to 0}x^{4} \\ \\ \ln(1-x^4)\sim_{x\to 0}-x^4$
Sostituiamo le stime nel limite così che diventi
$\\ (\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot 2x-2 x^4}{-x^4}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 0}\frac{2x^2-2x^4}{-x^4}=$
Raccogliamo totalmente e semplifichiamolo con il denominatore
$\\ =\lim_{x\to 0}\frac{x^2(2-2x^2)}{-x^4}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to 0}\frac{2-2x^2}{-x^2}=$
Il risultato è - infinito e lo si evince trasportando fuori dal simbolo di limite il segno meno e applicando a dovere l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi
$=-\lim_{x\to 0}\frac{2-2x^2}{x^2}= -\left[\frac{2}{0^{+}}\right]= -(+\infty)=-\infty$
Il limite è svolto.

Approfondimento
Osserviamo che il limite
$\lim_{x\to 0}\frac{2x^2-2 x^4}{-x^4}=$
può essere risolto prendendo in considerazione l'infinitesimo principale, ossia l'infinitesimo di ordine inferiore, al numeratore
$\\ =\lim_{x\to 0}\frac{2x^2}{-x^4}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to 0}\frac{-2}{x^2}= -\infty$
Il limite è risolto.
Risposta di Ifrit