Limite trigonometrico con logaritmo
Ho problemi con un limite trigonometrico con un logaritmo. E' il sesto esercizio tratto dalla scheda 3 di esercizi di riepilogo sui limiti
Grazie a chi mi aiuterà!
Il limite
si presenta nella forma indeterminata e può essere risolto mediante l'uso di opportune stime asintotiche, costruite a partire dai limiti notevoli. Andiamo nel particolare e scriviamo tutte le informazioni necessarie a risolvere il nostro problema.
Dal limite notevole del seno in forma generale
segue la relazione asintotica
applicabile nel momento in cui l'argomento del seno è infinitesimo. Dal limite notevole del logaritmo
deduciamo la relazione asintotica
valida ogniqualvolta che l'argomento del logaritmo tende ad 1, o equivalentemente quando .
In riferimento al limite della traccia osserviamo che quando i termini
sono infinitesimi
pertanto siamo autorizzati a costruire le stime asintotiche
Sostituiamo le stime nel limite così che diventi
Raccogliamo totalmente e semplifichiamolo con il denominatore
Il risultato è - infinito e lo si evince trasportando fuori dal simbolo di limite il segno meno e applicando a dovere l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi
Il limite è svolto.
Approfondimento
Osserviamo che il limite
può essere risolto prendendo in considerazione l'infinitesimo principale, ossia l'infinitesimo di ordine inferiore, al numeratore
Il limite è risolto.
Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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