Soluzioni
  • Il limite

    lim_(x → 0)(xsin(2x)-2ln(1+sin^4(x)))/(ln(1-x^4)) = (•)

    si presenta nella forma indeterminata [(0)/(0)] e può essere risolto mediante l'uso di opportune stime asintotiche, costruite a partire dai limiti notevoli. Andiamo nel particolare e scriviamo tutte le informazioni necessarie a risolvere il nostro problema.

    Dal limite notevole del seno in forma generale

    lim_(f(x) → 0)(sin(f(x)))/(f(x)) = 1

    segue la relazione asintotica

    sin(f(x)) ~ _(f(x) → 0)f(x)

    applicabile nel momento in cui l'argomento del seno è infinitesimo. Dal limite notevole del logaritmo

    lim_(g(x) → 0)(ln(1+g(x)))/(g(x)) = 1

    deduciamo la relazione asintotica

    ln(1+g(x)) ~ _(g(x) → 0)g(x)

    valida ogniqualvolta che l'argomento del logaritmo tende ad 1, o equivalentemente quando g(x) → 0.

    In riferimento al limite della traccia osserviamo che quando x → 0 i termini 2x, sin^4(x) e -x^4 sono infinitesimi

    beginarraylc ; 2x → 0 per x → 0 ; sin^4(x) → 0 per x → 0 ;-x^4 → 0 per x → 0 endarray

    pertanto siamo autorizzati a costruire le stime asintotiche

     sin(2x) ~ _(x → 0)2x ; ln(1+sin^4(x)) ~ _(x → 0)sin^(4)(x) ~ _(x → 0)x^(4) ; ln(1-x^4) ~ _(x → 0)-x^4

    Sostituiamo le stime nel limite così che diventi

     (•) = lim_(x → 0)(x·2x-2 x^4)/(-x^4) = lim_(x → 0)(2x^2-2x^4)/(-x^4) =

    Raccogliamo totalmente x^2 e semplifichiamolo con il denominatore

     = lim_(x → 0)(x^2(2-2x^2))/(-x^4) = lim_(x → 0)(2-2x^2)/(-x^2) =

    Il risultato è - infinito e lo si evince trasportando fuori dal simbolo di limite il segno meno e applicando a dovere l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi

    = -lim_(x → 0)(2-2x^2)/(x^2) = -[(2)/(0^(+))] = -(+∞) = -∞

    Il limite è svolto.

     

    Approfondimento

    Osserviamo che il limite

    lim_(x → 0)(2x^2-2 x^4)/(-x^4) =

    può essere risolto prendendo in considerazione l'infinitesimo principale, ossia l'infinitesimo di ordine inferiore, al numeratore

     = lim_(x → 0)(2x^2)/(-x^4) = lim_(x → 0)(-2)/(x^2) = -∞

    Il limite è risolto.

    Risposta di Ifrit
 
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