Limite trigonometrico con logaritmo

Question

Ho problemi con un limite trigonometrico con un logaritmo. E' il sesto esercizio tratto dalla scheda 3 di esercizi di riepilogo sui limiti lim_(x → 0)(xsin(2x)-2ln((1+sin^4(x))))/(ln(1-x^4)) Grazie a chi mi aiuterà!

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il limite lim_(x → 0)(xsin(2x)-2ln(1+sin^4(x)))/(ln(1-x^4)) = (•) si presenta nella forma indeterminata [(0)/(0)] e può essere risolto mediante l'uso di opportune stime asintotiche, costruite a partire dai limiti notevoli. Andiamo nel particolare e scriviamo tutte le informazioni necessarie a risolvere il nostro problema. Dal limite notevole del seno in forma generale lim_(f(x) → 0)(sin(f(x)))/(f(x)) = 1 segue la relazione asintotica sin(f(x)) ~ _(f(x) → 0)f(x) applicabile nel momento in cui l'argomento del seno è infinitesimo. Dal limite notevole del logaritmo lim_(g(x) → 0)(ln(1+g(x)))/(g(x)) = 1 deduciamo la relazione asintotica ln(1+g(x)) ~ _(g(x) → 0)g(x) valida ogniqualvolta che l'argomento del logaritmo tende ad 1, o equivalentemente quando g(x) → 0. In riferimento al limite della traccia osserviamo che quando x → 0 i termini 2x, sin^4(x) e -x^4 sono infinitesimi beginarraylc ; 2x → 0 per x → 0 ; sin^4(x) → 0 per x → 0 ;-x^4 → 0 per x → 0 endarray pertanto siamo autorizzati a costruire le stime asintotiche ; sin(2x) ~ _(x → 0)2x ; ln(1+sin^4(x)) ~ _(x → 0)sin^(4)(x) ~ _(x → 0)x^(4) ; ln(1-x^4) ~ _(x → 0)-x^4 Sostituiamo le stime nel limite così che diventi ; (•) = lim_(x → 0)(x·2x-2 x^4)/(-x^4) = lim_(x → 0)(2x^2-2x^4)/(-x^4) = Raccogliamo totalmente x^2 e semplifichiamolo con il denominatore ; = lim_(x → 0)(x^2(2-2x^2))/(-x^4) = lim_(x → 0)(2-2x^2)/(-x^2) = Il risultato è-infinito e lo si evince trasportando fuori dal simbolo di limite il segno meno e applicando a dovere l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi = -lim_(x → 0)(2-2x^2)/(x^2) = -[(2)/(0^(+))] = -(+∞) = -∞ Il limite è svolto. Approfondimento Osserviamo che il limite lim_(x → 0)(2x^2-2 x^4)/(-x^4) = può essere risolto prendendo in considerazione l'infinitesimo principale, ossia l'infinitesimo di ordine inferiore, al numeratore ; = lim_(x → 0)(2x^2)/(-x^4) = lim_(x → 0)(-2)/(x^2) = -∞ Il limite è risolto.