Soluzioni
  • Ciao remaxer arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo l'equazione canonica dell'ellisse:

    \Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

     

    Imponiamo il passaggio per i due punti:

    A(-2\sqrt{2},2)

    e

    B(\sqrt{5}, 4)

    Abbiamo che:

    A\in \Gamma\iff \frac{(-2\sqrt{2})^2}{a^2}+\frac{2^2}{b^2}=1

    Da ciò, otteniamo la prima equazione:

    \frac{8}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1

    Imponiamo ora il passaggio per B:

    B\in \Gamma\iff \frac{(\sqrt{5})^2}{a^2}+\frac{4^2}{b^2}=1

    Quindi:

    \frac{5}{a^2}+\frac{16}{b^2}=1

    Impostiamo il sistema:

    \begin{cases}\frac{8}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1\\ \frac{5}{a^2}+\frac{16}{b^2}=1\end{cases}

    Poniamo per linearizzare il problema:

    u= \frac{1}{a^2}

    v= \frac{1}{b^2}

    Il precedente sistema diventa:

    \begin{cases}8u+4v=1\\ 5u+16 v=1\end{cases}

    Procediamo per sostituzione:

    \begin{cases}v=\frac{1-8u}{4}\\ 5u+16 v=1\end{cases}

    \begin{cases}v=\frac{1-8u}{4}\\ 5u+16\left(\frac{1-8u}{4}\right)=1\end{cases}

     

    Semplifichiamo in modo opportuno :)

    \begin{cases}v=\frac{1-8u}{4}\\ 5u+4\left(1-8u\right)=1\end{cases}

    \begin{cases}v=\frac{1-8u}{4}\\ 5u+4-32u\right)=1\end{cases}

    Da cui

    -27u= 1-4\iff u= \frac{3}{27}= \frac{1}{9}

    Sostituiamo nella prima equazione u:

    v= \frac{1-\frac{8}{9}}{4}=\frac{1}{36}

    Abbiamo quindi scoperto che:

    u= \frac{1}{a^2}= \frac{1}{9}

    mentre

    v= \frac{1}{b^2}= \frac{1}{36}

    L'equazione dell'ellisse è quindi:

    \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{36}= 1

    Risposta di Ifrit
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