Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to +\infty}\frac{e^{-x^3+3x-2}+4x-1}{\sqrt{3x}+5}=(\bullet)

    si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{+\infty}{+\infty}\right] infatti sia il numeratore che il denominatore tendono a più infinito quando x\to +\infty. Al fine di risolvere la forma di indecisione considereremo gli infiniti di ordine superiore sia la numeratore che al denominatore dopodiché trascureremo gli altri termini.

    Per x\to +\infty, al numeratore:

    - il termine esponenziale tende a 0 perché l'esponente tende a -\infty

    \lim_{x\to +\infty}e^{-x^3+3x-2}=\lim_{x\to +\infty}e^{-x^3\left(1+\frac{3}{x^2}-\frac{3}{x^3}\right)}=[e^{-\infty\cdot 1}]=0

    - il termine polinomiale 4x è un infinito;

    - il termine costante -1 può essere trascurato a causa dell'infinito generato dal termine polinomiale.

    Al denominatore troviamo una somma tra un infinito generato dal termine irrazionale \sqrt{3x} e il termine costante 5. In base al principio di eliminazione, il limite di partenza diventa semplicemente

    (\bullet)=\lim_{x\to +\infty}\frac{4x}{\sqrt{3x}}=+\infty

    Il risultato è +\infty perché il numeratore è un infinito di ordine superiore rispetto all'infinito del denominatore, ricordiamo infatti che per le potenze sussiste la gerarchia

    x^{\alpha}<<x^{\beta}\ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty \ \ \ \mbox{ con }0<\alpha<\beta.

    Nel nostro caso la potenza al numeratore ha esponente 1, mentre quella al denominatore ha esponente \frac{1}{2} e lo si evince grazie alla definizione di potenza con esponente fratto: è grazie ad essa che possiamo scrivere l'identità \sqrt{3x}=(3x)^{\tfrac{1}{2}}\mbox{ per }x\ge 0.

    Risposta di Ifrit
 
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