Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x^3-1)}{\sqrt{x+1}}=(\bullet)

    si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{\infty}{\infty}\right] che possiamo sciogliere applicando il confronto tra infiniti: è sufficiente considerare infatti gli infiniti di ordine superiore sia al numeratore che al denominatore. In particolare possiamo trascurare

    - la costante -1 all'interno dell'argomento del logaritmo a numeratore;

    - la costante +1 all'interno del radicando a denominatore.

    In accordo con il principio di eliminazione degli infiniti di ordine inferiore, possiamo scrivere il limite nella forma equivalente

    (\bullet)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x^3)}{\sqrt{x}}=

    e invocando una semplice proprietà dei logaritmi giungeremo al limite

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{3\ln(x)}{\sqrt{x}}=0

    Osserviamo che, nel contesto del confronto tra infiniti, al tendere di x\to +\infty il logaritmo è un infinito di ordine inferiore rispetto a qualsiasi potenza con esponente positivo, ossia

    \ln(x)<< x^{\alpha}\ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty\mbox{ e }\alpha>0

    ecco perché il limite è 0.

    Risposta di Ifrit
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