Limite di una funzione rapporto di logaritmi

Dovrei calcolare il limite di un rapporto di logaritmi che presenta la forma di indecisione del tipo infinito su infinito. Il libro suggerisce l'uso del confronto tra infiniti, ma purtroppo non sono in grado di applicarlo correttamente

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(2x^2-4)}{\ln(x^3)-1}

 

Grazie.

In Uni - Analisi - Domanda di Luigi2110

Soluzioni

  • Nel caso del limite

    \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(2x^2-4)}{\ln(x^3)-1}=

    possiamo procedere per confronto tra infiniti, e passare a considerare il limite equivalente

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(2x^2)}{\ln(x^3)}=

    che, grazie a due note proprietà dei logaritmi, possiamo scrivere come

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(2)+\ln(x^2)}{3\ln(x)}=

    Limitiamoci ancora una volta a considerare l'infinito predominante (o meglio, l'unico termine che genera l'infinito) a numeratore il limite si riscrive come segue

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x^2)}{3\ln(x)}=

    Applichiamo di nuovo una delle proprietà dei logaritmi e scriviamo il limite nella forma equivalente

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{2\ln(x)}{3\ln(x)}=\frac{2}{3}

    Abbiamo portato a termine il calcolo.

    Risposta di Ifrit
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