Verificare che un campo vettoriale è esatto

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Università - Analisi

Salve, vorrei postare un esempio con cui mi spiegaste come verificare se un campo vettoriale è esatto o no.

Ad esempio: verificare che il seguente campo vettoriale è esatto:

 

F = (2xy , x^2 , 1)

 

Come procedo?

Domanda di Volpi

 
Soluzioni

  • Ciao Volpi arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Bisognerebbe verificare che il campo è chiuso:

    Abbiamo:

    F = (a(x, y,z), b(x, y, z), c(x, y, z))

    dove

    a(x,y, z) = 2xy

    b(x,y, z) = x^2

    c(x, y,z) = 1

    Per verificare che è chiuso dobbiamo controllare che:

    a_y(x, y, z) = b_x(x, y,z)

    a_z(x, y, z) = c_x(x, y, z)

    b_z(x, y, z) = c_y(x, y, z)

    Nel nostro caso:

    a_(y)(x, y, z) = 2x

    b_x(x,y, z) = 2x

    a_y = b_x

    inoltre

    a_z(x, y, z) = 0 = c_x(x, y, z)

    Infine:

    b_z(x,y, z) = 0 = c_y(x, y, z)

     

    Le derivate parziali coincidono, quindi possiamo asserire che il campo F è chiuso. E' esatto perché F è definito in  R^3 che è un insieme stellato (è convesso, perché spazio vettoriale) possiamo asserire che è esatto! :)

     

    Ti torna tutto?

    Risposta di Ifrit

  • esiste mica un altro metodo per varificare che sia esatto?

     

    perchè a lezione ci hanno mostrato che per verificare che un campo sia esatto è necessario che esista una funzione scalare U:D ⊆ R^n → R : bigtriangledownU = F

     

    come faccio a trovare U?

     

    ho un pò di confusione

    Risposta di Volpi

  • Esattamente, consiste nel determinare il potenziale associato al campo. Vediamo come procedere.

    Integriamo la prima componente del vettore F rispetto ad x:

     

    U(x, y, z) = ∫ a(x, y, z)dx = 2y∫ x dx = 2y((x^2)/(2)+α(y, z)) =

    = x^2 y+2 yα(y, z) = x^2y+α_1(y, z)

    dove 

    α_1(y, z)

    è una funzione che dipende dalle sole variabili y e z, ho inoltre inglobato 2y in questa funzione per semplificare i conti

    Imponiamo ora che:

    U_y(x, y, z) = b(x, y, z) ⇔ x^2+α_(1_(y))(y, z) = x^2

    Da cui otteniamo che:

    α_(1_(y))(y, z) = 0 ⇔ α_1(y, z) = c+β(z)

    dove 

    β(z)

    è una funzione che dipende esclusivamente da z.

    Il potenziale quindi si riscrive come:

    U(x, y, z) = x^2y+β(z)+c

    Infine imponendo che:

    U_z(x,y, z) = 1 ⇒ β'(z) = 1 ⇔ β(z) = z+k

    con k costante, in definitiva:

    U(x, y, z) = x^2y+z+k

    Abbiamo determinato il potenziale associato al campo vettoriale.

    Infatti:

    nabla U(x, y, z) = (2xy, x^2, 1)

    Scusami per il ritardo, ho sbagliato molte volte i conti :|

    Risposta di Ifrit

  • si era questo che cercavo grazie mille!Laughing

    Risposta di Volpi

  • Stai attento ai conti per favore, ho corretto così tante volte che probabilmente qualcosa è sfuggita :|

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi