Verificare che un campo vettoriale è esatto

Salve, vorrei postare un esempio con cui mi spiegaste come verificare se un campo vettoriale è esatto o no.

Ad esempio: verificare che il seguente campo vettoriale è esatto:

$F=(2xy\ ,\ x^2\ ,\ 1)$

Come procedo?

In Uni - Analisi - Domanda di Volpi

Soluzioni

Ciao Volpi arrivo :D

Risposta di Ifrit
Bisognerebbe verificare che il campo è chiuso:

Abbiamo:

dove

Per verificare che è chiuso dobbiamo controllare che:

Nel nostro caso:

$a_{y}(x, y, z)= 2x$

inoltre

Infine:

Le derivate parziali coincidono, quindi possiamo asserire che il campo F è chiuso. E' esatto perché F è definito in $\mathbb{R}^3$ che è un insieme stellato (è convesso, perché spazio vettoriale) possiamo asserire che è esatto! :)

Ti torna tutto?

Risposta di Ifrit
esiste mica un altro metodo per varificare che sia esatto?

perchè a lezione ci hanno mostrato che per verificare che un campo sia esatto è necessario che esista una funzione scalare $U:D\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} : \bigtriangledown{U}=F$

come faccio a trovare U?

ho un pò di confusione

Risposta di Volpi
Esattamente, consiste nel determinare il potenziale associato al campo. Vediamo come procedere.

Integriamo la prima componente del vettore F rispetto ad x:

$U(x, y, z)=\int a(x, y, z)dx= 2y\int x dx= 2y\left(\frac{x^2}{2}+ \alpha(y, z) \right)=$

$= x^2 y +2 y\alpha(y, z)= x^2y+\alpha_1(y, z)$

dove

$\alpha_1(y, z)$

è una funzione che dipende dalle sole variabili y e z, ho inoltre inglobato 2y in questa funzione per semplificare i conti

Imponiamo ora che:

$U_y(x, y, z)= b(x, y, z)\iff x^2+\alpha_{{1}_{y}}(y, z)= x^2$

Da cui otteniamo che:

$\alpha_{{1}_{y}}(y, z)= 0\iff \alpha_1(y, z)= c+\beta(z)$

dove

$\beta(z)$

è una funzione che dipende esclusivamente da z.

Il potenziale quindi si riscrive come:

$U(x, y, z)=x^2y+\beta(z)+c$

Infine imponendo che:

$U_z(x,y, z)=1\implies \beta'(z)= 1\iff \beta(z)=z+k$

con k costante, in definitiva:

Abbiamo determinato il potenziale associato al campo vettoriale.

Infatti:

$\nabla U(x, y, z)= \left(2xy, x^2, 1\right)$

Scusami per il ritardo, ho sbagliato molte volte i conti :|

Risposta di Ifrit
si era questo che cercavo grazie mille!

Risposta di Volpi
Stai attento ai conti per favore, ho corretto così tante volte che probabilmente qualcosa è sfuggita :|

Risposta di Ifrit