Soluzioni
  • Ciao Volpi arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Bisognerebbe verificare che il campo è chiuso:

    Abbiamo:

    F= (a(x, y,z), b(x, y, z), c(x, y, z))

    dove

    a(x,y, z)= 2xy

    b(x,y, z)= x^2

    c(x, y,z)=1

    Per verificare che è chiuso dobbiamo controllare che:

    a_y(x, y, z)= b_x(x, y,z)

    a_z(x, y, z)= c_x(x, y, z)

    b_z(x, y, z)= c_y(x, y, z)

    Nel nostro caso:

    a_{y}(x, y, z)= 2x

    b_x(x,y, z)= 2x

    a_y= b_x

    inoltre

    a_z(x, y, z)=0= c_x(x, y, z)

    Infine:

    b_z(x,y, z)=0= c_y(x, y, z)

     

    Le derivate parziali coincidono, quindi possiamo asserire che il campo F è chiuso. E' esatto perché F è definito in  \mathbb{R}^3 che è un insieme stellato (è convesso, perché spazio vettoriale) possiamo asserire che è esatto! :)

     

    Ti torna tutto?

    Risposta di Ifrit
  • esiste mica un altro metodo per varificare che sia esatto?

     

    perchè a lezione ci hanno mostrato che per verificare che un campo sia esatto è necessario che esista una funzione scalare U:D\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}  :  \bigtriangledown{U}=F

     

    come faccio a trovare U?

     

    ho un pò di confusione

    Risposta di Volpi
  • Esattamente, consiste nel determinare il potenziale associato al campo. Vediamo come procedere.

    Integriamo la prima componente del vettore F rispetto ad x:

     

    U(x, y, z)=\int a(x, y, z)dx= 2y\int x dx= 2y\left(\frac{x^2}{2}+ \alpha(y, z) \right)=

    = x^2 y +2 y\alpha(y, z)= x^2y+\alpha_1(y, z)

    dove 

    \alpha_1(y, z)

    è una funzione che dipende dalle sole variabili y e z, ho inoltre inglobato 2y in questa funzione per semplificare i conti

    Imponiamo ora che:

    U_y(x, y, z)= b(x, y, z)\iff x^2+\alpha_{{1}_{y}}(y, z)= x^2

    Da cui otteniamo che:

    \alpha_{{1}_{y}}(y, z)= 0\iff \alpha_1(y, z)= c+\beta(z)

    dove 

    \beta(z)

    è una funzione che dipende esclusivamente da z.

    Il potenziale quindi si riscrive come:

    U(x, y, z)=x^2y+\beta(z)+c

    Infine imponendo che:

    U_z(x,y, z)=1\implies \beta'(z)= 1\iff \beta(z)=z+k

    con k costante, in definitiva:

    U(x, y, z)= x^2y+z+k

    Abbiamo determinato il potenziale associato al campo vettoriale.

    Infatti:

    \nabla U(x, y, z)= \left(2xy, x^2, 1\right)

    Scusami per il ritardo, ho sbagliato molte volte i conti :|

    Risposta di Ifrit
  • si era questo che cercavo grazie mille!Laughing

    Risposta di Volpi
  • Stai attento ai conti per favore, ho corretto così tante volte che probabilmente qualcosa è sfuggita :|

    Risposta di Ifrit
 
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