Esercizio su limite con esponenziale e base variabile

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Avrei un dubbio sul calcolo del limite di una funzione esponenziale con base variabile. Il mio insegnante mi ha assicurato che non devo applicare necessariamente la relazione che lega la funzione esponenziale con la funzione logaritmica

 

y = e^(ln(y)) con y > 0

 

Senza tale proprietà non capisco come si possa affrontare il limite.

 

lim_(x → +∞)[(4x+5)/(6x+1)]^((1-x^2)/(3x+2))

Domanda di Luigi2110

 
Soluzioni

  • Studiamo il limite

    lim_(x → +∞)[(4x+5)/(6x+1)]^((1-x^2)/(3x+2))

    analizzando il comportamento della base e quello dell'esponente.

    Impostiamo il limite con cui comprendiamo a cosa tende la base

    lim_(x → +∞)(4x+5)/(6x+1) =

    Esso manifesta una forma indeterminata del tipo [(∞)/(∞)] che può essere sciolta mediante il confronto tra infiniti: è sufficiente trascurare le costanti additive e considerare il limite equivalente

    = lim_(x → +∞)(4x)/(6x) = (4)/(6) = (2)/(3)

    Impostiamo il limite con cui studiare l'andamento dell'esponente

    lim_(x → +∞)(1-x^2)/(3x+2) =

    Siamo ancora una volta di fronte ad una forma indeterminata [(∞)/(∞)] che possiamo risolvere invocando ancora una volta il confronto tra infiniti

    = lim_(x → +∞)(-x^2)/(3x) = lim_(x → +∞)-(x)/(3) = -∞

    Con le informazioni in nostro possesso possiamo concludere che il limite di partenza è +∞ in accordo con l'andamento della funzione esponenziale con base compresa tra 0 e 1 nell'intorno di -∞

    lim_(x → +∞)[(4x+5)/(6x+1)]^((1-x^2)/(3x+2)) = [((2)/(3))^(-∞)] = +∞

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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