Equazione dell'iperbole con i vertici e un punto

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Potreste indicarmi la risoluzione di questo problema sull'equazione dell'iperbole dati i vertici e un punto, sulle rette tangenti e sull'area di un quadrilatero?

 

Scrivere l'equazione dell'iperbole avente vertici reali (±3;0) e passante per il punto (-5,-8/3), indivuandone gli asintoti. Trova le equazioni delle tangenti all'iperbole mandate dal punto P dell'asse y di ordinata -3/2. Detti A e B i punti di tangenza, calcola l'area del quadrilatero AOBP, dove O è l'origine del sistema di riferimento.

 

Grazie in anticipo.

Domanda di ZioNiko

 
Soluzioni

  • Innanzitutto determiniamo l'equazione dell'iperbole avente vertici reali (±3;0) e passante per il punto (-5,-8/3), indivuandone gli asintoti.

    Abbiamo la generica equazione:

    (x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2) = 1

    I vertici dell'iperbole hanno coordinate:

    V_(1, 2)(±a, 0)

    Confrontando questa espressione con il vertice dato dall'esercizio, scopriamo che:

    a = 3 ⇒ a^2 = 9

    L'equazione dell'iperbole si scrive quindi come:

    (x^2)/(9)-(y^2)/(b^2) = 1

    Imponendo il passaggio nel punto 

    P(-5,-(8)/(3))

    otteniamo la condizione che definisce b^2:

    ((-5)^2)/(9)-((-(8)/(3))^2)/(b^2) = 1

    da cui

    (25)/(9)-(64)/(9 b^2) = 1

    Quindi:

    -(64)/(9b^2) = 1-(25)/(9) ;-(64)/(9b^2) = -(16)/(9)

    Cambiamo segno membro a membro

    (64)/(9 b^2) = (16)/(9)

    e passiamo al reciproco, membro a membro:

    (9b^2)/(64) = (9)/(16)

    Moltiplichiamo membro a membro per il reciproco di 9/64

    b^2 = 4

    e in questo modo ricaviamo l'equazione dell'iperbole

    (x^2)/(9)-(y^2)/(4) = 1

    A questo punto possiamo calcolare gli asintoti dell'iperbole, ricordando che hanno equazione:

    y = -(b)/(a)x ⇔ y = -(2)/(3)x ; y = (b)/(a)x ⇔ y = (2)/(3)x

    Calcolo delle rette tangenti all'iperbole condotte dal punto P

    Per determinare le equazioni delle rette tangenti, costruiamo il fascio di rette passanti per il punto:

    P(0,-(3)/(2))

    Per farlo dobbiamo utilizzare l'equazione della retta passante per un punto:

    y-y_0 = m (x-x_0) ; y+(3)/(2) = mx ⇒ y = mx-(3)/(2)

    A questo punto impostiamo il sistema:

    (x^2)/(9)-(y^2)/(4) = 1 ; y = mx-(3)/(2)

    Determiniamo l'equazione risolvente

    (x^2)/(9)-((mx-(3)/(2))^2)/(4) = 1

    da cui

    (-255+108 mx-4(9m^2-4)x^2)/(144) = 0

    Il denominatore non serve

    -255+108 mx-4(9m^2-4)x^2 = 0

    Si tratta di un'equazione di secondo grado. Calcoliamo il discriminante associato:

    Δ = (108 m)^2-4·(-255)(4(16-36m^2)) = -576(36m^2-25)

    Da cui, imponendo la condizione di tangenza, ricaviamo i coefficienti angolari delle due rette

    Δ = 0 ⇔ 36 m^2-25 = 0 ⇔ m^2 = (25)/(36) ⇔ m = ±(5)/(6)

    Le equazioni delle tangenti sono quindi:

    y = -(5)/(6)x-(3)/(2) ; y = (5)/(6)x-(3)/(2)

    Determiniamo A e B:

    y = -(5)/(6)x-(3)/(2) ; (x^2)/(9)-(y^2)/(4) = 1

    Risolvendo il sistema otteniamo

    A(-5, (8)/(3))

    mentre per B

    y = (5)/(6)x-(3)/(2) ; (x^2)/(9)-(y^2)/(4) = 1

    Risolvendo il sistema, si ricava

    B(5, (8)/(3))

    Area del quadrilatero costruito con i punti di tangenza

    A questo punto disegniamo i punti ottenuti sul piano

     

    Esercizio equazione iperbole con vertici e un punto

     

    Consideriamo il triangolo rettangolo ABP.

    Calcoliamo la lunghezza della base sottraendo le ascisse in valore assoluto (caso particolare della formula per la distanza tra due punti)

    AB = 10

    Riguardo all'altezza

    PH = PO+OH = (3)/(2)+(8)/(3) = (25)/(6)

    A questo punto possiamo calcolare l'area del triangolo ABP

    A_(ABP) = (10×(25)/(6))/(2) = (125)/(6)

    Ora calcoliamo l'area del triangolo AOB sapendo che la base è AB = 10, mentre l'altezza è data da

    OH = (8)/(3)

    L'area sarà quindi

    A_(AOB) = (10×(8)/(3))/(2) = (40)/(3)

    Per ottenere l'area del quadrilatero AOBP possiamo procedere in questo modo: dall'area del triangolo ABP togliamo l'area del triangolo AOB:

    A_(AOBP) = A_(ABP)-A_(AOB) = (125)/(6)-(40)/(3) = (15)/(2)

    Finito!

    Risposta di Ifrit

  • Grazie! Tutto chiaro! Incredibile, non pensavo che potesse esistere un sito di questo tipo! Grazie ancora! :D

    Risposta di ZioNiko
 
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