Soluzioni
  • Innanzitutto determiniamo l'equazione dell'iperbole avente vertici reali (±3;0) e passante per il punto (-5,-8/3), indivuandone gli asintoti.

    Abbiamo la generica equazione:

    \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

    I vertici dell'iperbole hanno coordinate:

    V_{1, 2}(\pm a, 0)

    Confrontando questa espressione con il vertice dato dall'esercizio, scopriamo che:

    a=3\implies a^2= 9

    L'equazione dell'iperbole si scrive quindi come:

    \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{b^2}=1

    Imponendo il passaggio nel punto 

    P\left(-5, -\frac{8}{3}\right)

    otteniamo la condizione che definisce b^2:

    \frac{(-5)^2}{9}-\frac{\left(-\frac{8}{3}\right)^2}{b^2}=1

    da cui

    \frac{25}{9}-\frac{64}{9 b^2}=1

    Quindi:

    -\frac{64}{9b^2}= 1-\frac{25}{9}\\ \\ \\ -\frac{64}{9b^2}=- \frac{16}{9}

    Cambiamo segno membro a membro

    \frac{64}{9 b^2}= \frac{16}{9}

    e passiamo al reciproco, membro a membro:

    \frac{9b^2}{64}= \frac{9}{16}

    Moltiplichiamo membro a membro per il reciproco di 9/64

    b^2= 4

    e in questo modo ricaviamo l'equazione dell'iperbole

    \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1

    A questo punto possiamo calcolare gli asintoti dell'iperbole, ricordando che hanno equazione:

    y= -\frac{b}{a}x\iff y=-\frac{2}{3}x\\ \\ \\ y= \frac{b}{a}x\iff y= \frac{2}{3}x

    Calcolo delle rette tangenti all'iperbole condotte dal punto P

    Per determinare le equazioni delle rette tangenti, costruiamo il fascio di rette passanti per il punto:

    P\left(0, -\frac{3}{2}\right)

    Per farlo dobbiamo utilizzare l'equazione della retta passante per un punto:

    y-y_0= m (x-x_0)\\ \\ y+\frac{3}{2}=mx\implies y= mx-\frac{3}{2}

    A questo punto impostiamo il sistema:

    \begin{cases}\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\\ \\ y= mx -\frac{3}{2}\end{cases}

    Determiniamo l'equazione risolvente

    \frac{x^2}{9}-\frac{(mx-\frac{3}{2})^2}{4}=1

    da cui

    \frac{-255+108 mx-4(9m^2-4)x^2}{144}=0

    Il denominatore non serve

    -255+108 mx-4(9m^2-4)x^2=0

    Si tratta di un'equazione di secondo grado. Calcoliamo il discriminante associato:

    \Delta= (108 m)^2-4\cdot(-255)(4(16-36m^2))= -576(36m^2-25)

    Da cui, imponendo la condizione di tangenza, ricaviamo i coefficienti angolari delle due rette

    \Delta=0\iff 36 m^2-25=0\iff m^2= \frac{25}{36}\iff m= \pm \frac{5}{6}

    Le equazioni delle tangenti sono quindi:

    y= -\frac{5}{6}x-\frac{3}{2}\\ \\ \\ y= \frac{5}{6}x-\frac{3}{2}

    Determiniamo A e B:

    \begin{cases}y= -\frac{5}{6}x-\frac{3}{2}\\ \\ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\end{cases}

    Risolvendo il sistema otteniamo

    A\left(-5, \frac{8}{3}\right)

    mentre per B

    \begin{cases}y=\frac{5}{6}x-\frac{3}{2}\\ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\end{cases}

    Risolvendo il sistema, si ricava

    B\left(5, \frac{8}{3}\right)

    Area del quadrilatero costruito con i punti di tangenza

    A questo punto disegniamo i punti ottenuti sul piano

     

    Esercizio equazione iperbole con vertici e un punto

     

    Consideriamo il triangolo rettangolo ABP.

    Calcoliamo la lunghezza della base sottraendo le ascisse in valore assoluto (caso particolare della formula per la distanza tra due punti)

    AB= 10

    Riguardo all'altezza

    PH= PO+OH= \frac{3}{2}+\frac{8}{3}=\frac{25}{6}

    A questo punto possiamo calcolare l'area del triangolo ABP

    A_{ABP}=\frac{10\times \frac{25}{6}}{2}=\frac{125}{6}

    Ora calcoliamo l'area del triangolo AOB sapendo che la base è AB=10, mentre l'altezza è data da

    OH=\frac{8}{3}

    L'area sarà quindi

    A_{AOB}= \frac{10\times \frac{8}{3}}{2}=\frac{40}{3}

    Per ottenere l'area del quadrilatero AOBP possiamo procedere in questo modo: dall'area del triangolo ABP togliamo l'area del triangolo AOB:

    A_{AOBP}=A_{ABP}-A_{AOB}= \frac{125}{6}-\frac{40}{3}=\frac{15}{2}

    Finito!

    Risposta di Ifrit
  • Grazie! Tutto chiaro! Incredibile, non pensavo che potesse esistere un sito di questo tipo! Grazie ancora! :D

    Risposta di ZioNiko
 
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