Integrale fratto con funzioni goniometriche

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Ciao, potreste aiutarmi con un integrale con funzioni goniometriche? Dovrei risolverlo per parti

 

Integrale di sin^2(x) / cos^3(x) dx.

 

Grazie in anticipo!

Domanda di matteo

 
Soluzioni

  • Ciao Matteo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Puoi procedere così:

    \int{\frac{\sin^2{(x)}}{\cos^3{(x)}}dx}=

    per l'identità fondamentale della trigonometria

    =\int{\frac{1-\cos^{2}{(x)}}{\cos^3{(x)}}dx}=

    dividiamo termine a termine

    \int{\frac{1}{\cos^{3}{(x)}}dx}-\int{\frac{1}{\cos{(x)}}dx}

    per definizione di secante

    \int{\sec^{3}{(x)}dx}-\int{\sec{(x)}dx}

    L'integrale della secante è noto:

    \int{\sec{(x)}dx}=\ln{(|\tan{(x)}+\sec{(x)}|)}+c

    Dell'integrale 

    \int{\sec^{3}{(x)}dx}

    trovi lo svolgimento (non uno, ma ben due tipi! Laughing) qui: integrale della secante al cubo

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • grazie mille...


    potresti farmi il favore di svolgerlo per parti considerando seno^2 e coseno^3 come le due funzioni    :)  

    ti domando questo svolgimento perchè devo verificare un risultato parziale dell'integrazione per parti


    grazie in anticipo   Wink

    Risposta di matteo

  • Se ho già un modo per raggiungere l'obbiettivo (determinare una primitiva), e trovarne un altro è un'operazione che richiede più di 60 secondi, tipicamente lascio perdere.

    La mia filosofia è quella che i metodi Matematici siano al servizio dell'uomo, e non il viceversa Wink

    Vuoi svolgerlo per parti perché hai già provato a farlo, e vuoi verificare il risultato: postami lo svolgimento, così ci metto meno di trenta secondi per dirti se hai fatto bene oppure no Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • eccolo 

    =0.5 (sinx/(cosx)^2)-0.5 integrale di (1/cosx)

    vorrei sapere se già questo è corretto o meno? 

    Risposta di matteo

  • Che cosa hai scelto come derivata nella formula di integrazione per parti?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • il seno

    Risposta di matteo

  • Se prendi il seno come derivata, una sua primitiva è il coseno cambiato di segno

    f'(x)=\sin{(x)}\to f(x)=-\cos{(x)}

    Applicando la formula di integrazione per parti

    I=-\cos{(x)}\frac{\sin{(x)}}{\cos^3{(x)}}-\int{(-\cos{(x)})[-3\cos^{-2}{(x)}\sin{(x)}+\cos^{-3}{(x)}\cos{(x)}]dx}

    O no?

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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