Integrale fratto con funzioni goniometriche

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Ciao, potreste aiutarmi con un integrale con funzioni goniometriche? Dovrei risolverlo per parti

 

Integrale di sin^2(x) / cos^3(x) dx.

 

Grazie in anticipo!

Domanda di matteo

 
Soluzioni

  • Ciao Matteo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Puoi procedere così:

    ∫(sin^2(x))/(cos^3(x))dx =

    per l'identità fondamentale della trigonometria

    = ∫(1-cos^(2)(x))/(cos^3(x))dx =

    dividiamo termine a termine

    ∫(1)/(cos^(3)(x))dx-∫(1)/(cos(x))dx

    per definizione di secante

    ∫sec^(3)(x)dx-∫sec(x)dx

    L'integrale della secante è noto:

    ∫sec(x)dx = ln((|tan(x)+sec(x)|))+c

    Dell'integrale 

    ∫sec^(3)(x)dx

    trovi lo svolgimento (non uno, ma ben due tipi! Laughing) qui: integrale della secante al cubo

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • grazie mille...


    potresti farmi il favore di svolgerlo per parti considerando seno^2 e coseno^3 come le due funzioni    :)  

    ti domando questo svolgimento perchè devo verificare un risultato parziale dell'integrazione per parti


    grazie in anticipo   Wink

    Risposta di matteo

  • Se ho già un modo per raggiungere l'obbiettivo (determinare una primitiva), e trovarne un altro è un'operazione che richiede più di 60 secondi, tipicamente lascio perdere.

    La mia filosofia è quella che i metodi Matematici siano al servizio dell'uomo, e non il viceversa Wink

    Vuoi svolgerlo per parti perché hai già provato a farlo, e vuoi verificare il risultato: postami lo svolgimento, così ci metto meno di trenta secondi per dirti se hai fatto bene oppure no Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • eccolo 

    =0.5 (sinx/(cosx)^2)-0.5 integrale di (1/cosx)

    vorrei sapere se già questo è corretto o meno? 

    Risposta di matteo

  • Che cosa hai scelto come derivata nella formula di integrazione per parti?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • il seno

    Risposta di matteo

  • Se prendi il seno come derivata, una sua primitiva è il coseno cambiato di segno

    f'(x) = sin(x) → f(x) = -cos(x)

    Applicando la formula di integrazione per parti

    I = -cos(x)(sin(x))/(cos^3(x))-∫(-cos(x))[-3cos^(-2)(x)sin(x)+cos^(-3)(x)cos(x)]dx

    O no?

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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