L'equazione goniometrica di cui dobbiamo calcolare le eventuali soluzioni è
Essa è caratterizzata dalla presenza di seno e coseno che però non hanno il medesimo argomento. Per fare in modo che l'equazione si semplifichi ci avvarremo di alcune formule goniometriche, in particolare ci avvarremo delle regole degli archi associati che consentono di scrivere le seguenti identità
mentre
Sostituendo le espressioni trovate nell'equazione, essa diventa
ossia
Ci siamo ricondotti a un'equazione goniometrica di secondo grado in soli coseni che possiamo analizzare operando la sostituzione
mediante la quale otteniamo
Essa è un'equazione di secondo grado nell'incognita
e con coefficienti
Risolviamola calcolando prima di tutto il discriminante associato con la formula
Poiché il delta è positivo, l'equazione in
ammette due soluzioni reali e distinte:
Possiamo quindi asserire che l'equazione di secondo grado è soddisfatta dai seguenti valori
Ripristiniamo l'incognita
. Ricordando che
la relazione
si traduce nell'equazione in coseno
che però non ammette soluzioni perché non esiste alcun numero reale
per cui il coseno sia pari a -2.
La relazione
si trasforma invece nell'equazione goniometrica
che è soddisfatta da:
dove
è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.
In definitiva, le soluzioni dell'equazione
sono
con
.
Abbiamo finito!
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