Equazione goniometrica con coseno, seno e somma di angoli

Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione goniometrica in seno e coseno, caratterizzata dal fatto che le funzioni goniometriche non hanno lo stesso argomento. In questi casi dovrei utilizzare le opportune formule goniometriche, giusto?

Determinare le soluzioni dell'equazione goniometrica

$2\cos^2(\pi+x)-5\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+2=0$

Grazie.

Domanda di matol

Soluzioni

L'equazione goniometrica di cui dobbiamo calcolare le eventuali soluzioni è
$2\cos^2(\pi+x)-5\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+2=0$
Essa è caratterizzata dalla presenza di seno e coseno che però non hanno il medesimo argomento. Per fare in modo che l'equazione si semplifichi ci avvarremo di alcune formule goniometriche, in particolare ci avvarremo delle regole degli archi associati che consentono di scrivere le seguenti identità
$\cos(\pi+x)=-\cos(x) \ \ \ \mbox{per ogni}\ x\in\mathbb{R}$
mentre
$\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos(x)\ \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}$
Sostituendo le espressioni trovate nell'equazione, essa diventa
$2[-\cos(x)]^2-5(-\cos(x))+2=0$
ossia
$2\cos^2(x)+5\cos(x)+2=0$
Ci siamo ricondotti a un'equazione goniometrica di secondo grado in soli coseni che possiamo analizzare operando la sostituzione
$y=\cos(x)\ \ \ \to \ \ \ y^2=\cos^2(x)$
mediante la quale otteniamo
Essa è un'equazione di secondo grado nell'incognita e con coefficienti
$a=2 \ \ \ , \ \ \ b=5 \ \ \ , \ \ \ c=2$
Risolviamola calcolando prima di tutto il discriminante associato con la formula
$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$
Poiché il delta è positivo, l'equazione in ammette due soluzioni reali e distinte:
$\\ y_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{9}}{4}=\\ \\ \\ =\frac{-5\pm 3}{4}=\begin{cases}\frac{-5-3}{4}=-2=y_1\\ \\ \frac{-5+3}{4}=-\frac{1}{2}=y_2\end{cases}$
Possiamo quindi asserire che l'equazione di secondo grado è soddisfatta dai seguenti valori
$y=-2 \ \ \ , \ \ \ y=-\frac{1}{2}$
Ripristiniamo l'incognita . Ricordando che $y=\cos(x)$ la relazione si traduce nell'equazione in coseno
$\cos(x)=-2$
che però non ammette soluzioni perché non esiste alcun numero reale per cui il coseno sia pari a -2.
La relazione $y=-\frac{1}{2}$ si trasforma invece nell'equazione goniometrica
$\cos(x)=-\frac{1}{2}$
che è soddisfatta da:
$\\ x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi\\ \\ \\ x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$
dove è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.
In definitiva, le soluzioni dell'equazione
$2\cos^2(\pi+x)-5\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+2=0$
sono
$\\ x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi\\ \\ \\ x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$
con $k\in\mathbb{Z}$ .
Abbiamo finito!
Risposta di Ifrit