Equazione goniometrica con coseno, seno e somma di angoli

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Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione goniometrica in seno e coseno, caratterizzata dal fatto che le funzioni goniometriche non hanno lo stesso argomento. In questi casi dovrei utilizzare le opportune formule goniometriche, giusto?

 

Determinare le soluzioni dell'equazione goniometrica

 

2cos^2(π+x)-5sin(x-(π)/(2))+2 = 0

 

Grazie.

Domanda di matol

 
Soluzioni

  • L'equazione goniometrica di cui dobbiamo calcolare le eventuali soluzioni è

    2cos^2(π+x)-5sin(x-(π)/(2))+2 = 0

    Essa è caratterizzata dalla presenza di seno e coseno che però non hanno il medesimo argomento. Per fare in modo che l'equazione si semplifichi ci avvarremo di alcune formule goniometriche, in particolare ci avvarremo delle regole degli archi associati che consentono di scrivere le seguenti identità

    cos(π+x) = -cos(x) per ogni x∈R

    mentre

    sin(x-(π)/(2)) = -cos(x) per ogni x∈R

    Sostituendo le espressioni trovate nell'equazione, essa diventa

    2[-cos(x)]^2-5(-cos(x))+2 = 0

    ossia

    2cos^2(x)+5cos(x)+2 = 0

    Ci siamo ricondotti a un'equazione goniometrica di secondo grado in soli coseni che possiamo analizzare operando la sostituzione

    y = cos(x) → y^2 = cos^2(x)

    mediante la quale otteniamo

    2y^2+5y+2 = 0

    Essa è un'equazione di secondo grado nell'incognita y e con coefficienti

    a = 2 , b = 5 , c = 2

    Risolviamola calcolando prima di tutto il discriminante associato con la formula

    Δ = b^2-4ac = 5^2-4·2·2 = 25-16 = 9

    Poiché il delta è positivo, l'equazione in y ammette due soluzioni reali e distinte:

    y_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-5±√(9))/(4) = (-5±3)/(4) = (-5-3)/(4) = -2 = y_1 ; (-5+3)/(4) = -(1)/(2) = y_2

    Possiamo quindi asserire che l'equazione di secondo grado è soddisfatta dai seguenti valori

    y = -2 , y = -(1)/(2)

    Ripristiniamo l'incognita x. Ricordando che y = cos(x) la relazione y = -2 si traduce nell'equazione in coseno

    cos(x) = -2

    che però non ammette soluzioni perché non esiste alcun numero reale x per cui il coseno sia pari a -2.

    La relazione y = -(1)/(2) si trasforma invece nell'equazione goniometrica

    cos(x) = -(1)/(2)

    che è soddisfatta da:

    x = -(2π)/(3)+2kπ ; x = (2π)/(3)+2kπ

    dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.

    In definitiva, le soluzioni dell'equazione

    2cos^2(π+x)-5sin(x-(π)/(2))+2 = 0

    sono

    x = -(2π)/(3)+2kπ ; x = (2π)/(3)+2kπ

    con k∈Z.

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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