Vero o falso sulle disequazioni lineari

Ciao Luigi,

a) Per le equazioni la relazione "avere lo stesso insieme di soluzioni" è una relazione di equivalenza.

Vero

b) La disequazione x ≤ x è impossibile.

Falso

c) Se un sistema di disequazioni ha una delle disequazioni indeterminata, il sistema è indeterminato.

Falso

d) Se un sistema di disequazioni ha una delle disequazioni impossibile, il sistema è impossibile.

Vero.

Un piccolo approfondimento: una relazione si dice di equivalenza se valgono le seguenti proprietà

- riflessività: x è in relazione con x

- simmetria: se x è in relazione con y allora anche y è in relazione con x

- transitività: se x è in relazione con y e y lo è con z, allora anche x è in relazione con z.

Siano x, y e z tre equazioni.

Verifichiamo le proprietà scritte sopra: chiaramente la relazione avere lo stesso insieme delle soluzioni cioè essere equazioni equivalenti, è riflessiva per definizione.

È anche simmetrica; infatti se x ha lo stesso insieme di soluzioni di y, bé, allora anche y ha lo stesso insieme delle soluzioni di x.

Infine se x ha soluzioni idendiche a y e y le ha uguali a quelle di z, necessariamente l'insieme delle soluzioni di x è uguale a quello di z, quindi la relazione è anche transitiva!

In definitiva la relazione espressa in a) è di equivalenza.

Ora un piccolo approfondimento sulla b).

Scrivere

è equivalente a scrivere

cioè

Questa disuguaglianza è sempre vera, perché 0=0, quindi è vera anche 0≤0, per usare un termine che sicuramente hai imparato studiando logica, è una tautologia.