Soluzioni
  • Vediamo come effettuare lo studio di funzione per

    f(x)=\sqrt{x^2-1}

    Dominio

    Cominciamo con il dominio. L'unica condizione da imporre riguarda la radice: essendo l'indice pari sappiamo che il radicando deve essere non negativo

    x^2-1\geq 0 

    Risolvendo la disequazione di secondo grado troviamo

    Dom(f)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)

    Segno e intersezioni con gli assi

    Per studiare il segno della funzione dobbiamo risolvere la disequazione f(x)\geq 0, ossia

    \sqrt{x^2-1}\geq 0

    Ma qui non è necessario, perché una radice ad indice pari è per definizione non negativa ed in particolare è nulla solo se il radicando è nullo. Quindi f(x) è positiva per

    x<-1\ \vee\ x>1

    ed è nulla in x=\pm 1. Tali ascisse costituiscono le intersezioni con l'asse delle x, mentre non può esserci alcuna intersezione con l'asse delle y alla luce del dominio della funzione.

    Parità e disparità della funzione

    Per capire se la funzione è pari, dispari o nessuna delle due cose dobbiamo valutare f(-x)

    f(-x)=\sqrt{(-x)^2-1}=\sqrt{x^2-1}=f(x)

    e se ne deduce che abbiamo a che fare con una funzione pari. Per questo motivo possiamo limitarci a studiarla su [1,+\infty) poiché dedurremo la restante parte del grafico con semplici considerazioni relative alla simmetria rispetto all'asse delle ordinate.

    Limiti agli estremi

    Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio tenendo presente che x=\pm 1 sono punti in cui la funzione è ben definita

    \\ f(1)=\lim_{x\to 1^+}\sqrt{x^2-1}=0\\ \\ \lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2-1}=+\infty

    Il primo limite si ricava con una semplice valutazione diretta, mentre il risultato del secondo limite si deduce dalle regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi.

    Controlliamo se per x\to +\infty la funzione ammette un asintoto obliquo:

    m=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{|x|\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}{x}=

    tenendo conto delle regole per infiniti e infinitesimi possiamo ridurci a calcolare

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{|x|}{x}=

    e tenendo conto della definizione di valore assoluto, e del fatto che ci troviamo in un intorno di +infinito

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{+x}{x}=1

    L'eventuale asintoto obliquo avrebbe quindi coefficiente angolare pari a m=1.

    Passiamo al calcolo dell'ordinata all'origine

    q=\lim_{x\to +\infty}[f(x)-mx]=\lim_{x\to +\infty}[\sqrt{x^2-1}-x]=

    Per calcolare il limite effettuiamo una razionalizzazione al contrario

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{(x^2-1)-x^2}{\sqrt{x^2-1}+x}=

    e limitandoci a considerare gli infiniti di ordine principale a denominatore

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{-1}{\sqrt{x^2}+x}=0

    In definitiva la funzione ammette come asintoto obliquo y=x per x\to +\infty; per simmetria avrà anche y=-x come asintoto obliquo per x\to -\infty.

    Studio della derivata prima

    Passiamo allo studio di massimi e minimi e calcoliamo la derivata.

    f'(x)=\frac{d}{dx}\sqrt{x^2-1}

    Per farlo dobbiamo servirci della formula per la derivata di una radice e del teorema per la derivata della funzione composta

    f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}

    In conclusione

    f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}

    Intanto notiamo che la derivata prima non è definita per x=\pm 1 perché tali valori ne annullano il denominatore.

    Studiamone il segno risolvendo la disequazione f'(x)\geq 0, ossia

    \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\geq 0

    La radice è per definizione positiva ove è definita ed ove il radicando non si annulla, sicché senza alcun calcolo otteniamo per il numeratore

    x\geq 0

    Non dimentichiamoci delle condizioni di esistenza: la derivata prima è negativa per x<-1 ed è positiva per x>1, intervalli su cui la funzione f(x) è rispettivamente decrescente e crescente.

    Apparentemente non sembrerebbero esserci punti di massimo né di minimo. In effetti non abbiamo alcun punto di massimo, ma sulla base delle informazioni di cui disponiamo possiamo concludere che la funzione presenta due punti di minimo

    x=\pm 1

    che non appartengono al dominio della derivata prima ma che appartengono al dominio della funzione:

    f(\pm 1)=0

    Inoltre tali punti sono di minimo assoluto perché sono gli unici punti in cui la funzione si annulla; in qualsiasi altro punto del dominio la funzione è positiva.

    Il (valore) minimo assoluto della funzione è così y=0.

    Derivata seconda

    Studiamo la derivata seconda e ancor prima calcoliamola con la regola di derivazione del rapporto

    \\ f''(x)=\frac{d}{dx}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{\frac{d}{dx}[x]\cdot \sqrt{x^2-1}-x\cdot\frac{d}{dx}[\sqrt{x^2-1}]}{(\sqrt{x^2-1})^2}=\\ \\ \\ =\frac{\sqrt{x^2-1}-x\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}

    Con semplici calcoli, e applicando opportunamente la regola per la frazione di una frazione, giungiamo a

    f''(x)=-\frac{1}{\sqrt{(x^2-1)^3}}

    e volendone studiare il segno è immediato comprendere che essa è definita su Dom(f)-\{\pm 1\} e che è ovunque negativa, per cui la funzione è concava su tutto il proprio dominio.

    Grafico

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    Risposta di Omega
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