Soluzioni
  • Ciao 904 arrivo :D 

    Risposta di Ifrit
  • Un modo per ridurre il problema consiste nel porre:

    z = y''⇒ z'= y'''⇒ z''= y^(IV)

    Otteniamo l'equazione differenziale ausiliaria

    z''-3z'+2z = 0

    che è un'equazione differenziale del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti.

    consideriamo l'equazione caratteristica associata:

    λ^2-3λ+2 = 0

    le soluzioni caratteristiche sono:

    λ_1 = 1 ∨ λ_2 = 2

    La famiglia di funzioni che soddisfano l'equazione differenziale ausiliaria è:

    z(x) = c_1e^(x)+c_2e^(2x)

    Ma attenzione sappiamo che:

    z(x) = y''(x)

    per ottenere y(x) dobbiamo integrare due volte la funzione z(x)

    y'(x) = ∫ c_1e^(x)+c_2e^(2x)dx = c_1e^(x)+(1)/(2)c_2 e^(2x)+c_3

    mentre

    y(x) = ∫ y'(x)dx = c_1e^(x)+(1)/(4)c_2 e^(2x)+c_3 x+c_4

    A questo punto poniamo con un abuso di notazione:

    c_2 = (1)/(4)c_2

    In questo modo 1/4 scompare e semplifica l'espressione. Lo possiamo fare perché è una costante moltiplicativa.

    y(x) = ∫ y'(x)dx = c_1e^(x)+c_2 e^(2x)+c_3 x+c_4

    Impostando le condizioni iniziali avrai la soluzione del problema di Cauchy che dovrebbe essere:

    y(x) = (-5+6e^x-e^(2x)-4x)/(2)

    Se hai bisogno di ulteriori chiarimenti sai cosa fare :D

    Risposta di Ifrit
  • e ma perchè se risolvo λ^(IV)-3λ^(''')+2λ'' = 0 non si trova?

    Risposta di 904
  • Si deve trovare per forza. Vediamo cosa succede:

    λ^4-3λ^3+2λ^2 = 0

    mettiamo in evidenza λ^2

    λ^2(λ^2-3λ+2) = 0

    Otteniamo come soluzioni:

    λ_1 = λ_2 = 0

    λ_3 = 1

    λ_4 = 2

    Abbiamo una radice 0 di molteplicità 2 quindi la soluzione dell'equazione differenziale è:

    y(x) = c_1e^(0 x)+c_2 xe^(0x)+c_3 e^(x)+c_4e^(2x) = c_1+c_2 x+c_3e^x+c_4e^(2x)

    Hai tenuto conto della molteplicità della radice 0?

    Risposta di Ifrit
 
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