Soluzioni
  • Ciao 904 arrivo :D 

    Risposta di Ifrit
  • Un modo per ridurre il problema consiste nel porre:

    z=y''\implies z'= y'''\implies z''= y^{IV}

    Otteniamo l'equazione differenziale ausiliaria

    z''-3z'+2z=0

    che è un'equazione differenziale del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti.

    consideriamo l'equazione caratteristica associata:

    \lambda^2-3\lambda+2=0

    le soluzioni caratteristiche sono:

    \lambda_1=1\vee \lambda_2=2

    La famiglia di funzioni che soddisfano l'equazione differenziale ausiliaria è:

    z(x)= c_1e^{x}+c_2e^{2x}

    Ma attenzione sappiamo che:

    z(x)= y''(x)

    per ottenere y(x) dobbiamo integrare due volte la funzione z(x)

    y'(x)= \int c_1e^{x}+c_2e^{2x}dx= c_1e^{x}+\frac{1}{2}c_2 e^{2x}+c_3

    mentre

    y(x)= \int y'(x)dx= c_1e^{x}+\frac{1}{4}c_2 e^{2x}+c_3 x+c_4

    A questo punto poniamo con un abuso di notazione:

    c_2= \frac{1}{4}c_2

    In questo modo 1/4 scompare e semplifica l'espressione. Lo possiamo fare perché è una costante moltiplicativa.

    y(x)= \int y'(x)dx= c_1e^{x}+c_2 e^{2x}+c_3 x+c_4

    Impostando le condizioni iniziali avrai la soluzione del problema di Cauchy che dovrebbe essere:

    y(x)= \frac{-5+6e^x-e^{2x}-4x}{2}

    Se hai bisogno di ulteriori chiarimenti sai cosa fare :D

    Risposta di Ifrit
  • e ma perchè se risolvo \lambda^{IV}-3\lambda^{'''}+2\lambda{''}=0 non si trova?

    Risposta di 904
  • Si deve trovare per forza. Vediamo cosa succede:

    \lambda^4-3\lambda^3+2\lambda^2=0

    mettiamo in evidenza \lambda^2

    \lambda^2(\lambda^2-3\lambda+2)=0

    Otteniamo come soluzioni:

    \lambda_1= \lambda_2=0

    \lambda_3= 1

    \lambda_4=2

    Abbiamo una radice 0 di molteplicità 2 quindi la soluzione dell'equazione differenziale è:

    y(x)= c_1e^{0 x}+c_2 xe^{0x}+c_3 e^{x}+c_4e^{2x}= c_1+c_2 x +c_3e^x+c_4e^{2x}

    Hai tenuto conto della molteplicità della radice 0?

    Risposta di Ifrit
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