Integrale di senx cosx
Quanto vale e come si calcola l'integrale di sen(x)cos(x), ossia l'integrale indefinito del prodotto tra il seno di x e il coseno di x? Avevo pensato di procedere con un'integrazione per parti, ma vorrei sapere se c'è un metodo più veloce per calcolarlo.
Calcolare l'integrale indefinito del prodotto tra il seno di x e il coseno di x
L'integrale di sen(x)cos(x) è uguale al seno al quadrato di x fratto due, più una costante arbitraria; si può calcolare in diversi modi, ma quello più veloce è dato dal metodo di sostituzione.
Calcolo dell'integrale del prodotto tra il seno e il coseno di x
Procediamo con una integrazione per sostituzione e poniamo
Deriviamo membro a membro, così da ottenere il nuovo differenziale. La derivata di sin(x) è uguale a cos(x), per cui derivando otteniamo
Sostituiamo nell'integrale di partenza
ottenendo così un integrale elementare, immediato da calcolare
Torniamo alla variabile 
e sostituiamo 
con 
In definitiva
Risultati equivalenti dell'integrale indefinito di sen(x)cos(x)
Con l'aiuto delle formule trigonometriche si può esprimere la famiglia delle primitive dell'integrale indefinito di sen(x)cos(x) in altri modi, a seconda delle nostre necessità.
Ad esempio, usando l'identità fondamentale della Trigonometria
possiamo scrivere il risultato in termini del coseno al quadrato di x:
Spezziamo la frazione nel modo seguente
Accorpiamo le costanti additive in un'unica costante
e otteniamo
Abbiamo così espresso l'integrale del prodotto tra il seno di x e il coseno di x in termini del coseno al quadrato
***
È tutto! Per concludere ti lasciamo il link al tool sugli integrali online, con cui puoi verificare la correttezza degli esercizi che svolgi da solo.