Soluzioni
  • L'integrale di sen(x)cos(x) è uguale al seno al quadrato di x fratto due, più una costante arbitraria; si può calcolare in diversi modi, ma quello più veloce è dato dal metodo di sostituzione.

    ∫ sin(x) cos(x) dx = (sin^2(x))/(2)+c, c ∈ R

    Calcolo dell'integrale del prodotto tra il seno e il coseno di x

    ∫ sin(x) cos(x) dx

    Procediamo con una integrazione per sostituzione e poniamo

    sin(x) = t

    Deriviamo membro a membro, così da ottenere il nuovo differenziale. La derivata di sin(x) è uguale a cos(x), per cui derivando otteniamo

    cos(x) dx = dt

    Sostituiamo nell'integrale di partenza

    ∫ sin(x) (t) cos(x) dx (dt) = ∫ t dt =

    ottenendo così un integrale elementare, immediato da calcolare

    = (t^2)/(2)+c =

    Torniamo alla variabile x e sostituiamo t con sin(x)

    = (sin^2(x))/(2)+c

    In definitiva

    ∫ sin(x) cos(x) dx = (sin^2(x))/(2)+c, c ∈ R

    Risultati equivalenti dell'integrale indefinito di sen(x)cos(x)

    Con l'aiuto delle formule trigonometriche si può esprimere la famiglia delle primitive dell'integrale indefinito di sen(x)cos(x) in altri modi, a seconda delle nostre necessità.

    Ad esempio, usando l'identità fondamentale della Trigonometria

    sin^2(x)+cos^2(x) = 1

    possiamo scrivere il risultato in termini del coseno al quadrato di x:

    ∫ sin(x) cos(x) dx = (sin^2(x))/(2)+c = (1-cos^2(x))/(2)+c =

    Spezziamo la frazione nel modo seguente

    = (1)/(2)-(cos^2(x))/(2)+c = (•)

    Accorpiamo le costanti additive in un'unica costante

    k = (1)/(2)+c

    e otteniamo

    (•) = -(cos^2(x))/(2)+k k ∈ R

    Abbiamo così espresso l'integrale del prodotto tra il seno di x e il coseno di x in termini del coseno al quadrato

    ∫ sin(x)cos(x) dx = -(cos^2(x))/(2)+k k ∈ R

    ***

    È tutto! Per concludere ti lasciamo il link al tool sugli integrali online, con cui puoi verificare la correttezza degli esercizi che svolgi da solo.

    Risposta di Galois
 
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