Integrale di senx cosx

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Quanto vale e come si calcola l'integrale di sen(x)cos(x), ossia l'integrale indefinito del prodotto tra il seno di x e il coseno di x? Avevo pensato di procedere con un'integrazione per parti, ma vorrei sapere se c'è un metodo più veloce per calcolarlo.

 

Calcolare l'integrale indefinito del prodotto tra il seno di x e il coseno di x

 

∫ sin(x) cos(x) dx

Domanda di Nicole

 
Soluzioni

  • L'integrale di sen(x)cos(x) è uguale al seno al quadrato di x fratto due, più una costante arbitraria; si può calcolare in diversi modi, ma quello più veloce è dato dal metodo di sostituzione.

    ∫ sin(x) cos(x) dx = (sin^2(x))/(2)+c, c ∈ R

    Calcolo dell'integrale del prodotto tra il seno e il coseno di x

    ∫ sin(x) cos(x) dx

    Procediamo con una integrazione per sostituzione e poniamo

    sin(x) = t

    Deriviamo membro a membro, così da ottenere il nuovo differenziale. La derivata di sin(x) è uguale a cos(x), per cui derivando otteniamo

    cos(x) dx = dt

    Sostituiamo nell'integrale di partenza

    ∫ sin(x) (t) cos(x) dx (dt) = ∫ t dt =

    ottenendo così un integrale elementare, immediato da calcolare

    = (t^2)/(2)+c =

    Torniamo alla variabile x e sostituiamo t con sin(x)

    = (sin^2(x))/(2)+c

    In definitiva

    ∫ sin(x) cos(x) dx = (sin^2(x))/(2)+c, c ∈ R

    Risultati equivalenti dell'integrale indefinito di sen(x)cos(x)

    Con l'aiuto delle formule trigonometriche si può esprimere la famiglia delle primitive dell'integrale indefinito di sen(x)cos(x) in altri modi, a seconda delle nostre necessità.

    Ad esempio, usando l'identità fondamentale della Trigonometria

    sin^2(x)+cos^2(x) = 1

    possiamo scrivere il risultato in termini del coseno al quadrato di x:

    ∫ sin(x) cos(x) dx = (sin^2(x))/(2)+c = (1-cos^2(x))/(2)+c =

    Spezziamo la frazione nel modo seguente

    = (1)/(2)-(cos^2(x))/(2)+c = (•)

    Accorpiamo le costanti additive in un'unica costante

    k = (1)/(2)+c

    e otteniamo

    (•) = -(cos^2(x))/(2)+k k ∈ R

    Abbiamo così espresso l'integrale del prodotto tra il seno di x e il coseno di x in termini del coseno al quadrato

    ∫ sin(x)cos(x) dx = -(cos^2(x))/(2)+k k ∈ R

    ***

    È tutto! Per concludere ti lasciamo il link al tool sugli integrali online, con cui puoi verificare la correttezza degli esercizi che svolgi da solo.

    Risposta di Galois
 
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