L'integrale di sen(x)cos(x) è uguale al seno al quadrato di x fratto due, più una costante arbitraria; si può calcolare in diversi modi, ma quello più veloce è dato dal metodo di sostituzione.
Calcolo dell'integrale del prodotto tra il seno e il coseno di x
Procediamo con una integrazione per sostituzione e poniamo
Deriviamo membro a membro, così da ottenere il nuovo differenziale. La derivata di sin(x) è uguale a cos(x), per cui derivando otteniamo
Sostituiamo nell'integrale di partenza
ottenendo così un integrale elementare, immediato da calcolare
Torniamo alla variabile
e sostituiamo
con
In definitiva
Risultati equivalenti dell'integrale indefinito di sen(x)cos(x)
Con l'aiuto delle formule trigonometriche si può esprimere la famiglia delle primitive dell'integrale indefinito di sen(x)cos(x) in altri modi, a seconda delle nostre necessità.
Ad esempio, usando l'identità fondamentale della Trigonometria
possiamo scrivere il risultato in termini del coseno al quadrato di x:
Spezziamo la frazione nel modo seguente
Accorpiamo le costanti additive in un'unica costante
e otteniamo
Abbiamo così espresso l'integrale del prodotto tra il seno di x e il coseno di x in termini del coseno al quadrato
***
È tutto! Per concludere ti lasciamo il link al tool sugli integrali online, con cui puoi verificare la correttezza degli esercizi che svolgi da solo.
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