Integrale di cos^2

Come si calcola l'integrale del coseno al quadrato cos^2 ? Ho un suggerimento del libro che mi dice di trasformarlo nella forma

 

\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}

 

ma non riesco a capire come fare.

 

Potreste mostrarmi lo svolgimento completo dell'integrale di cos^2(x)?

 

\int{\cos^2{(x)}dx}

In Superiori - Analisi - Domanda di Nicole

Soluzioni

  • Il procedimento che intendi seguire nel calcolo dell'integrale del coseno al quadrato

    \int{\cos^2{(x)}dx}

    è corretto. L'idea è quella di passare all'integrale

    \int{\frac{1}{2}(1+\cos{(2x)})dx}

    vediamo come fare.

    Dalle formule di duplicazione, in particolare dalla formula di duplicazione del coseno, sappiamo che

    \cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)\ \ \ \bullet

    Per l'identità fondamentale della Trigonometria (vedi formule trigonometriche)

    \sin^2{(x)}+\cos^2{(x)}=1

    ne ricaviamo

    \sin^2{(x)}=1-\cos^2{(x)}\ \ \ \bullet\bullet

    Sostituendo \bullet\bullet in \bullet ricaviamo

    \cos{(2x)}=2\cos^2{(x)}-1

    A noi interessa \cos^2{(x)}, quindi trattiamo la precedente uguaglianza come un'equazione e la invertiamo in favore di tale termine

    \cos^2{(x)}=\frac{1}{2}(1+\cos{(2x)})

    e quindi possiamo equivalentemente calcolare

    \int\cos^2(x)dx=\int{\frac{1}{2}(1+\cos(2x))dx}=

    A questo punto possiamo applicare le proprietà degli integrali

    =\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int\cos(2x)dx

    e, anche se potrebbe non sembrare, ci troviamo di fronte a due integrali notevoli. Il primo è banale

    \frac{1}{2}\int dx=\frac{x}{2}+c_1

    Per il secondo ci basta ricordare l'integrale del coseno e "aggiustare" opportunamente i coefficienti, moltiplicando e dividendo per 2 in modo da usare la formula di integrazione

    \int f'(g(x))\cdot g'(x)dx=f(g(x))+c

    che non è nient'altro che un'applicazione del teorema per la derivata della funzione composta al contrario.

    \frac{1}{2}\int\cos(2x)dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int\cos(2x)\cdot 2dx=\frac{1}{4}\sin(2x)+c_2

    Rimettendo il tutto insieme

    \int\cos^2(x)dx=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin(2x)+C=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\sin(2x)\right)+C

    Se vuoi puoi applicare nuovamente le formule di duplicazione e scrivere la famiglia di primitive in una forma del tutto equivalente

    \int\cos^2(x)dx=\frac{1}{2}(x+\sin(x)\cos(x))+C

    Come approfondimento ti lascio il link per la scheda di esercizi sugli integrali particolari e ovviamente il sempreverde tool per gli integrali online - click!

    Risposta di Omega

  • Capito tutto! Grazie mille!

    Risposta di Nicole
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