Il procedimento che intendi seguire nel calcolo dell'integrale del coseno al quadrato
è corretto. L'idea è quella di passare all'integrale
vediamo come fare.
Dalle formule di duplicazione, in particolare dalla formula di duplicazione del coseno, sappiamo che
Per l'identità fondamentale della Trigonometria (vedi formule trigonometriche)
ne ricaviamo
Sostituendo
in
ricaviamo
A noi interessa
, quindi trattiamo la precedente uguaglianza come un'equazione e la invertiamo in favore di tale termine
e quindi possiamo equivalentemente calcolare
A questo punto possiamo applicare le proprietà degli integrali
e, anche se potrebbe non sembrare, ci troviamo di fronte a due integrali notevoli. Il primo è banale
Per il secondo ci basta ricordare l'integrale del coseno e "aggiustare" opportunamente i coefficienti, moltiplicando e dividendo per 2 in modo da usare la formula di integrazione
che non è nient'altro che un'applicazione del teorema per la derivata della funzione composta al contrario.
Rimettendo il tutto insieme
Se vuoi puoi applicare nuovamente le formule di duplicazione e scrivere la famiglia di primitive in una forma del tutto equivalente
Come approfondimento ti lascio il link per la scheda di esercizi sugli integrali particolari e ovviamente il sempreverde tool per gli integrali online - click!
Capito tutto! Grazie mille!
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