Integrale di cos^2

Come si calcola l'integrale del coseno al quadrato cos^2 ? Ho un suggerimento del libro che mi dice di trasformarlo nella forma

$\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}$

ma non riesco a capire come fare.

Potreste mostrarmi lo svolgimento completo dell'integrale di cos^2(x)?

$\int{\cos^2{(x)}dx}$

Domanda di Nicole

Soluzioni

Il procedimento che intendi seguire nel calcolo dell'integrale del coseno al quadrato
$\int{\cos^2{(x)}dx}$
è corretto. L'idea è quella di passare all'integrale
$\int{\frac{1}{2}(1+\cos{(2x)})dx}$
vediamo come fare.
Dalle formule di duplicazione, in particolare dalla formula di duplicazione del coseno, sappiamo che
$\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)\ \ \ \bullet$
Per l'identità fondamentale della Trigonometria (vedi formule trigonometriche)
$\sin^2{(x)}+\cos^2{(x)}=1$
ne ricaviamo
$\sin^2{(x)}=1-\cos^2{(x)}\ \ \ \bullet\bullet$
Sostituendo $\bullet\bullet$ in $\bullet$ ricaviamo
$\cos{(2x)}=2\cos^2{(x)}-1$
A noi interessa $\cos^2{(x)}$ , quindi trattiamo la precedente uguaglianza come un'equazione e la invertiamo in favore di tale termine
$\cos^2{(x)}=\frac{1}{2}(1+\cos{(2x)})$
e quindi possiamo equivalentemente calcolare
$\int\cos^2(x)dx=\int{\frac{1}{2}(1+\cos(2x))dx}=$
A questo punto possiamo applicare le proprietà degli integrali
$=\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int\cos(2x)dx$
e, anche se potrebbe non sembrare, ci troviamo di fronte a due integrali notevoli. Il primo è banale
$\frac{1}{2}\int dx=\frac{x}{2}+c_1$
Per il secondo ci basta ricordare l'integrale del coseno e "aggiustare" opportunamente i coefficienti, moltiplicando e dividendo per 2 in modo da usare la formula di integrazione
$\int f'(g(x))\cdot g'(x)dx=f(g(x))+c$
che non è nient'altro che un'applicazione del teorema per la derivata della funzione composta al contrario.
$\frac{1}{2}\int\cos(2x)dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int\cos(2x)\cdot 2dx=\frac{1}{4}\sin(2x)+c_2$
Rimettendo il tutto insieme
$\int\cos^2(x)dx=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin(2x)+C=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\sin(2x)\right)+C$
Se vuoi puoi applicare nuovamente le formule di duplicazione e scrivere la famiglia di primitive in una forma del tutto equivalente
$\int\cos^2(x)dx=\frac{1}{2}(x+\sin(x)\cos(x))+C$
Come approfondimento ti lascio il link per la scheda di esercizi sugli integrali particolari e ovviamente il sempreverde tool per gli integrali online - click!
Risposta di Omega
Capito tutto! Grazie mille!
Risposta di Nicole