Integrale di cos^2

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Come si calcola l'integrale del coseno al quadrato cos^2 ? Ho un suggerimento del libro che mi dice di trasformarlo nella forma

 

cos^2(x) = (1+cos(2x))/(2)

 

ma non riesco a capire come fare.

 

Potreste mostrarmi lo svolgimento completo dell'integrale di cos^2(x)?

 

∫cos^2(x)dx

Domanda di Nicole

 
Soluzioni

  • Il procedimento che intendi seguire nel calcolo dell'integrale del coseno al quadrato

    ∫cos^2(x)dx

    è corretto. L'idea è quella di passare all'integrale

    ∫(1)/(2)(1+cos(2x))dx

    vediamo come fare.

    Dalle formule di duplicazione, in particolare dalla formula di duplicazione del coseno, sappiamo che

    cos(2x) = cos^2(x)-sin^2(x) •

    Per l'identità fondamentale della Trigonometria (vedi formule trigonometriche)

    sin^2(x)+cos^2(x) = 1

    ne ricaviamo

    sin^2(x) = 1-cos^2(x) • •

    Sostituendo • • in • ricaviamo

    cos(2x) = 2cos^2(x)-1

    A noi interessa cos^2(x), quindi trattiamo la precedente uguaglianza come un'equazione e la invertiamo in favore di tale termine

    cos^2(x) = (1)/(2)(1+cos(2x))

    e quindi possiamo equivalentemente calcolare

    ∫cos^2(x)dx = ∫(1)/(2)(1+cos(2x))dx =

    A questo punto possiamo applicare le proprietà degli integrali

    = (1)/(2)∫ dx+(1)/(2)∫cos(2x)dx

    e, anche se potrebbe non sembrare, ci troviamo di fronte a due integrali notevoli. Il primo è banale

    (1)/(2)∫ dx = (x)/(2)+c_1

    Per il secondo ci basta ricordare l'integrale del coseno e "aggiustare" opportunamente i coefficienti, moltiplicando e dividendo per 2 in modo da usare la formula di integrazione

    ∫ f'(g(x))·g'(x)dx = f(g(x))+c

    che non è nient'altro che un'applicazione del teorema per la derivata della funzione composta al contrario.

    (1)/(2)∫cos(2x)dx = (1)/(2)·(1)/(2)∫cos(2x)·2dx = (1)/(4)sin(2x)+c_2

    Rimettendo il tutto insieme

    ∫cos^2(x)dx = (x)/(2)+(1)/(4)sin(2x)+C = (1)/(2)(x+(1)/(2)sin(2x))+C

    Se vuoi puoi applicare nuovamente le formule di duplicazione e scrivere la famiglia di primitive in una forma del tutto equivalente

    ∫cos^2(x)dx = (1)/(2)(x+sin(x)cos(x))+C

    Come approfondimento ti lascio il link per la scheda di esercizi sugli integrali particolari e ovviamente il sempreverde tool per gli integrali online - click!

    Risposta di Omega

  • Capito tutto! Grazie mille!

    Risposta di Nicole
 
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