Limiti agli estremi di una funzione con parametro

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Salve ho una funzione con parametro di cui devo calcolare i limiti agli estremi del dominio. Sarebbe questa:

 

f(x)=\log^2{(x)}+(x+\alpha-4)\log{(x)}-3x-\frac{2\alpha}{x}

 

Il mio problema sono i limiti agli estremi. Non capisco le velocità, cioè cosa prevale per il limite con x che tende a 0 e chi prevale per x che tende ad infinito e come valutare l'alfa.

Domanda di valedec331992

 
Soluzioni

  • Ciao Valedec, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • La funzione è

    f(x)=\log^2{(x)}+(x+\alpha-4)\log{(x)}-3x-\frac{2\alpha}{x}

    Intanto occupiamoci del dominio, per capire quali limiti agli estremi dobbiamo calcolare. L'unica condizione da imporre è che

    x>0

    per l'esistenza dei logaritmi, dunque Dom(f)=(0,+\infty)

    Se calcoliamo il limite per x\to +\infty, possiamo equivalentemente calcolare

    \lim_{x\to +\infty}{f(x)}=\lim_{x\to +\infty}{\log^2{(x)}+x\ln{(x)}}-3x

    Nell'intorno di x=0, invece, possiamo considerare

    \lim_{x\to 0^{+}}{f(x)}=\lim_{x\to 0^{+}}{\log^2{(x)}+(\alpha-4)\log{(x)}}-\frac{2\alpha}{x}

    Che ne dici?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • si si ci sono!!

    Risposta di valedec331992

  • Ok Laughing

    Per il primo limite non ci sono problemi, è sufficiente individuare l'infinito di ordine sueriore che è dato da

    xln{(x)}

    dunque il limite vale +\infty indipendentemente da \alpha.

    Nell'intorno destro di 0, invece, l'infinito dominante è dato dal termine 1/x, dunque:

    - se \alpha<0, abbiamo come limite +\infty

    - se \alpha>0, abbiamo come limite -\infty

    - se \alpha=0, l'infinito di ordine superiore è \ln^2{(x)}, per cui il limite è +\infty

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • ok il passaggio con il parametro mi è chiaro..però xkè dominca 1/x??

    Risposta di valedec331992

  • Intendi quando studiamo il comportamento della funzione nell'intorno di

     

    +\infty

     

    ?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • no in quello 0..cioè non mi è chiaro se voglio considerare le velocità..per i lim che tendono a 0 devo considerare quello con ordine minore e per quelli che tendono a infinito quelli con ordine maggiore?

    Risposta di valedec331992

  • No Wink si considera l'ordine inferiore se si ha a che fare con infinitesimi.

    Nota che dire "infinitesimo" non ha nulla a che vedere con il valore cui tende la x, quanto più si riferisce al comportamento della funzione (o di una sua parte, come per gli addendi nel nostro caso) al tendere di x ad un determinato valore.

    Al tendere di x\to 0 i singoli addendi non sono infinitesimi, bensì infiniti, dunque bisogna prendere come riferimento l'infinito di ordine superiore.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • sono infiniti perchè il log tende a -infinito?

    Risposta di valedec331992

  • Esattamente! Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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